摘要：教学建模要求学生要具有下列素质：坚实的数学基础，创新能力，数据处理的能力，抽象思维能力，操控计算机的能力和较高的非智力素质。要想圆满完成数学建模工作，必须在上述几个方面拓展学生素质。
关键词：数学建模；学生素质；要求；拓展
中图分类号：G424 文献标志码：A 文章编号：1002－0845(2008)08－0030－02
收稿日期：2007-12-20
基金项目：广西壮族自治区教育厅“新世纪教改工程”课题(桂教高教［2006］194号)，广西教育科学“十一五”规划课题(2006C65)
作者简介：耿秀荣(1970-)，女，山东临沂人，讲师，硕士，从事数学及学科教学研究。
数学建模，是指通过对实际问题进行抽象、简化，确定变量和参数，建立起变量、参数之间确定的数学关系，求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程［1］。随着形势的发展，从数学建模角度研究高校学生素质的问题已经提上了日程。
本文拟从数学建模入手，在具体探讨数学建模的要求之后，研究如何拓展大学生素质的问题。
一、数学建模对学生素质的要求
1.应具备坚实的数学基础
数学概念、公式是我们解决问题的基础，也是我们解决问题的方法。波利亚曾反复强调，当遇到问题的时候，应回到定义上去［2］。定义往往表现为概念、公式等。例如，当我们解决CUMCM2006年D题(煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制)的问题2时，应该充分考虑概率和定积分的定义。该题要我们求煤矿发生爆炸的可能性，这显然是概率问题。对概率的类型进行对比之后，我们发现，其中的几何概型比较适合该问题。众所周知，几何概型是用线段的长度或图形的面积进行计算的概率。那么，它的分子、分母是长度，还是图形面积呢?在本题中，它应该是图形的面积。现在的问题是，图形的面积又如何表达呢?于是，我们由定积分的概念入手，确定了定积分上下限，进而找到了用定积分表达的方法。这样，我们便得到了如下模型［3］：
P(y)=∫1.18131.1691e-0.75469xdx∫4131.1691e-0.75469xdx
数学建模题目所涉及的内容丰富，因而可能用到很多知识点。例如微积分、概率及数理统计、运筹学、微分方程等知识。例如，CUMCM2006年的C题(易拉罐形状和尺寸的最优设计)需要我们用运筹学的知识，根据易拉罐的不同形状列出目标函数：易拉罐所用材料的总体积，即：
然后，要求我们找出约束条件，如：罐内的体积已知(大于355立方厘米)、罐的直径等限制条件。
2.要具有创新能力
解法或答案的开放性，是数学建模的重要特点。
例如，对CUMCM1997年A题(零件的参数设计)做出了具有创意的解答。作者深入分析了零件参数设计中的优化问题，将其归结为一个有约束的非线性规划问题，建立如下模型
同时，作者提出“分两步走”的策略来简化问题，采用了蒙特卡罗方法模拟和线性近似来计算总体参数的最优解。作者独辟蹊径，从实用角度引入了一个目标函数，即E(y-y0)2，并且在原有约束条件下求该目标函数的最小值。这样，又大大简化了整个处理过程。这里，作者充分发挥自己的创新能力，很好地解决了原本复杂的问题。
3.要具备数据处理的能力
(1)搜寻数据的能力。我们要善于从数学建模题目较少的信息中，通过合理的方式和途径得到所需要的数据。例如，CUMCM2006年C题(易拉罐形状和尺寸的最优设计)有5个小题，但信息量大，需要建模队员从多种途径寻求自己所需要的数据。比如，要获知易拉罐形状及每种形状对应各部位的尺寸，有多种途径，即自己测量、请别人测量、或直接从网上搜索资料等等。
(2)提炼数据的能力。我们不仅要善于从数学建模题目的隐含信息中通过合理的方式获得充足的数据，而且还要善于从大量复杂的信息中抽取或整理自己需要的有效数据。例如，CUMCM2006年D题(煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制)数据多，信息量大，附图复杂，附件内容繁多，需要建模队员从多种角度、采用多种工具对数据进行合理处理，进而提炼出自己所需要的信息。
4.要具备抽象思维能力
在构造数学模型时，我们要善于简化问题，力争把其思想方法用数学语言表达出来，即选择合适的字母，运用合适的运算符号(如∑、∏、∫等)进行表达。同时，我们要对所建立的数学模型进行合理性分析，并及时改进模型，以取得最优结果。在此基础上，指出所建模型的实际意义。
5.要具备操控计算机的能力
处理数学建模题目，我们需要拥有灵活使用计算机的能力。例如，了解计算机及相关配件的性能，以避免造成不必要的损失；熟练地进行Word文档的操作；运用C++、C语言等进行计算机编程；会利用电子表格进行简单的数据处理，如求平均数、求和、自定义公式等；熟练运用数学软件，如利用数学公式编辑器进行数学符号、公式的输入等处理，运用Mathematica、Lingo、Matlab等进行诸如编程、运算及函数拟合等数据处理。
6.要具有较高的非智力素质
处理数学建模题目，不仅需要上述素质，还需要较高的非智力素质。例如，建模比赛需要有极强的合作意识和团队精神。事实上，任务分配、模型的建立、论文的写作等都需要学生之间的合作和默契。又如，需要毅力和信心。学生要能够在较长时间内，充满信心地思考同一个问题，坚持不懈，永不言弃。
二、数学建模对素质拓展的启示
1.夯实数学基础
(1)掌握概念、公式和定义。数学概念、公式和定义是解决数学建模问题的基础，所以我们需要对其深刻理解和把握。例如，积分是高等数学中一个重要概念，许多数学建模题目需要建立积分模型。解决CUMCM1999年C题(煤矸石堆积)的时候，就建立了积分模型来计算一年所消耗的电能［4］：
Ei=∫xixi-16×103Ax3xsinβηdx
因此，学生应该加强概念、公式和定义的学习。为了能从不同角度掌握它们的本质和内涵，学生自己可以联系实际了解它们在数学建模题目中的应用情况。
(2)拓宽建摸的数学知识。我们知道，在高校里面，许多专业只开设高等数学这门课程，而不开运筹学、概率及数理统计等课程。在这种情况下，数学教师需要对建模学生进行这类知识的培训。例如，许多数学建模赛题需要建立数学规划模型。我们知道，CUMCM1998年A题(投资的收益和风险)就需要建立线性规划模型，甚至需要一个双目标优化的数学模型［4］：
minQ(x)
-R(x)｜F(x)=M,x≥0
然后再采取多种方法对此进行简化，使其成为单目标优化问题。
除了运筹学知识，数学建模还需要概率及数理统计、微分方程、差分方程、图论、对策论、网络流等数学知识。如果缺少这方面的知识，学生就不会建立正确的数学模型。
2.培养创新能力
(1)培养创新能力，需要先进的理念。培养创新能力，首先要跟上时代步伐，吸取最新科研成果。作为新一代大学生，需要不断更新自己的知识结构，随时补充各个学科的最新研究成果，并及时把它们内化到自己的动态知识结构中去。只有这样，才能充实自己，时刻使自己处在时代的最前沿。只有见多识广，才能高屋建瓴，才能开拓建模思路，才能更好地培养创新能力。
(2)培养创新能力，需要拓展专业知识。数学建模几乎涉及到生活的方方面面，因而它涉及的知识面很宽泛。例如，CUJMCM2006年B题(艾滋病疗法的评价及疗效的预测)就用到了医学上的疗效预测知识。就问题1而言，当CD4与HIV的比值达到某种平衡K时，将停止对该药物的使用。随着时间的变化，CD4和HIV值都会发生相应的改变。以K作为比较值，我们可以建立二次回归数学模型［4］：
K=β0+β1t+β2t2+ε
如果对疗效预测知识不了解，我们就无法知道什么时候停止对该药物的使用(当CD4与HIV的比值达到某种平衡K时)，那么，就很难建立出较好的模型。
在知识的交汇处将会产生许多新的东西。优化知识结构，使之成为复合型和开放型的知识结构，才有利于创新。
3.培养数据处理的能力
要想在有限的时间内，圆满地完成数学建模赛题，需要准确而迅速地查阅资料、收集资料的能力。例如，在解决CUMCM2000年C题(飞越北极)时，在充分查阅背景材料的基础上，清楚地交代了大地纬度和归化纬度的关系［4］：
tanu=[SX(]b[]a[SX)]tanB
又由地球的扁率、球面三角公式等建立数学模型S=αΔσ-H(MU-NV)。在此基础上，求出飞机飞行节约的时间为4．041小时。这里，如果不用“大地纬度”、“归化纬度”、“地球的扁率”、“球面三角公式”等资料，很难建立这种数学模型。可见，准确、迅速地查阅、收集资料，是数学建模所需要的主要能力之一。
4.培养抽象思维能力
学生应该对自己所建立的数学模型开展批判性思考训练。例如，我们可以不断地提问：该解法的优缺点分别是什么?还有没有其他更好的解法?如何进行改进?结果是否符合实际?能够推广吗?……在这种训练过程中，我们可以强化和提高学生的批判性思维。
学生需要在较短的时间内，完成数学模型的建立和求解，还需要把自己的成果及时地组织成文章。这是圆满完成数学建模答卷的最终环节，也是科学研究能力的一部分。
5.培养操控计算机的能力
毫无疑问，熟练地运用计算机，能够帮助我们正确、迅速地建立和求解数学模型。所以，教师和学生都应该学习一些计算机知识，以便能够利用计算机基础知识进行一些数据处理、简单编程，能够利用诸如LINGO、Mathematica、Matlab等常用的数学应用软件进行数学运算。
6.要提高非智力素质
要想圆满完成数学建模工作，必须培养学生吃苦耐劳的精神。在比赛时间里，学生必须凝神思考、全力以赴，甚至可能彻夜不眠。显然，没有足够的吃苦精神是不能坚持到底的。
参考文献：
［1］Friedman A,Glimm J,Lavery J.The Mathematical and computational sciences in emerging manufacturing technologies and management practices［J］.SIAM,1992:62～63.
［2］G·波利亚.怎样解题［M］.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
［3］耿秀荣，等.煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制模型［J］.桂林航天工业高等专科学校学报，2006，11(4).
［4］全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编［C］.北京：中国物价出版社，2002.
〔责任编辑：东升〕
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文