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摘要： 构建考虑混凝土拉压异性和宏观断裂特征的混凝土类材料非局部态型近场动力学本构模型，并通过引入动态松弛、系统失衡判断和力边界等效等算法，构建适于分析混凝土类材料和结构变形破坏过程的态型近场动力学数值模拟体系.通过分组模拟和定量计算，分析算法的收敛性、计算精度和效率等问题；在此基础上开展含不同角度中心裂纹混凝土板的破坏模拟.
关键词： 混凝土； 裂纹扩展； 态型近场动力学； 非局部模型
中图分类号： O346.1 文献标志码： A
0 引 言
材料和结构的破坏机制及其数值模拟是计算力学研究的经典难题，也是诸多工程领域关注的重点.传统的有限元等数值方法由于在连续介质框架下求解偏微分方程，所以在分析破坏问题时必须预先知道裂纹的存在与否及其位置和尺寸，计算时又需要判断裂纹是否扩展及扩展路径，并重新剖分网格，具有一定的复杂性.边界元、扩展有限元、非连续有限元等方法及虚拟裂纹闭合等措施可以较好地处理不连续问题，但由于依然在连续性假设框架下进行不连续区域的特殊处理，模拟复杂的诸如三维群裂纹、多尺度动力破坏等问题时，依然有待进一步研究.
近年来，基于非局部积分思想的近场动力学（PeriDynamics，PD）方法[1-2]凭借其不需要求解空间微分方程而在模拟大变形及裂纹扩展、爆炸和冲击破坏等强不连续力学问题方面的突出优势[3-5]，成为计算力学和相关领域研究的热点.针对建筑工程中最广泛使用的混凝土材料和结构，SILLING[6]，DEMMIE[7]和KILIC等[8-9]采用近场动力学方法模拟简单混凝土梁和柱的冲击破坏、失稳等问题，GERSTLE等[10-12]在模拟混凝土梁的基础上，还进一步分析近场动力学模型参数对计算精度的影响.本课题组也曾根据近场动力学思想建模分析常规混凝土构件的拉、压和冲击破坏过程.[13-15]
然而，已有的相关工作主要基于常规“键型”近场动力学模型，不论是采用早期的单参数微弹脆性模型[6-9]，还是应用改进后的微极键型近场动力学模型[11-12]，均无法真正满足实际混凝土材料和结构破坏模拟特别是定量计算分析的需要（例如，固有的泊松比限制问题[1，8]，三维模拟时单参数微观脆性模型中泊松比限定于0.25，而微极模型[11-12]的泊松比则必须小于0.25），对材料的泊松比具有一定的限制.为修正包括泊松比限制在内的键型近场动力学模型的缺陷，SILLING等[16-17]进一步发展态型近场动力学理论，近年来已成为关注的热点[18-19]，但其相关工作主要围绕各种传统本构模型和态型近场动力学模型之间的转化来开展，对于混凝土材料和结构破坏这一工程实际问题的态型近场动力学模拟尚未见诸报道.
本文基于态型近场动力学理论，构建考虑混凝土拉压异性和宏观断裂特征的弹脆性态型近场动力学本构模型，并且通过引入动态松弛、系统失衡判断、力边界等效等算法，构建完整的统一求解混凝土材料和结构变形破坏问题的数值体系.通过对混凝土板单轴拉伸问题的定量计算和分组模拟，分析方法的收敛性、计算精度和效率.在此基础上，应用本文的模型和方法模拟含不同角度中心裂纹混凝土板的裂纹扩展与破坏过程.
1 态型近场动力学理论和模型
1.1 态型近场动力学理论
将空间物质视为由带质量、有代表性体积的系列物质点x组成，其
仅与其近场范围H（"ξ|<δ）内的其他物质点相互作用，见图1.图1中：x和x′分别表示参考构形中2个物质点位置矢量；u和u′分别表示当前构形中2个物质点位移矢量；y=x+u和y′=x′+u′分别表示当前构形中2个物质点的坐标矢量；ξ=x′-x表示2个物质点的相对位置矢量；η=u′-u表示2个物质点的相对位移矢量.
1.2 二维常规态型近场动力学本构模型
2 数值实现
2.1 局部阻尼引入
为便于应用近场动力学方法求解准静力问题，根据准静力结果验证模型的可靠型，引入经典力学中的动态松弛法，在运动方程中引入局部阻尼项[8，15]，将物质点运动方程转化为
2.2 数值离散
对平面问题采用四边形均匀离散（单位厚度），离散间距为Δx，则物质点的代表面积为VΔx=Δx2，对于物质点xi考虑近场范围内（xj-xi≤δ）的相互作用
2.3 数值算法
近场动力学方法的显式动力学实现涉及空间离散方式、时间差分格式及数值积分方法，数值积分方法与空间离散方式相关.本文采用中心差分对时间序列进行离散，
2.4 系统失衡力准则
3 数值算例
为验证本文模型和算法，首先通过对混凝土板的单向拉伸变形进行定量计算分析，进而分别对含不同角度中心裂纹的混凝土板受拉伸时的裂纹扩展和破坏过程进行分析.根据实际情况，将问题简化为平面应力问题分析.
对粒子系统的力边界条件施加问题是粒子类方法中的难点.对于长为L，宽为W的矩形板（见图2），本文在近场动力学模拟时在模型的加载边界上增加宽度为δ的加载区域，将外力载荷等效为加载区物质点体力施加于加载区物质点上，使模型边界上应力等效边界条件一致.这样做还可以消除往常近场动力学计算中常见的边界弱化问题.
3.1 板拉伸定量分析
取200 mm×200 mm混凝土方板，密度ρ=2 400 kg/m3，弹性模量E=30 GPa，泊松比v=0.2，体积模量和剪切模量分别为K=16.67 GPa，G=12.5 GPa.在竖直方向施加均布拉伸载荷σ=3 MPa.模型离散情况见图2，离散物质点间距Δx=1 mm，模型共包含40 600个物质点，其中边界物质点600个，近场范围取δ取3Δx.使用控制变量法，通过改变时间步长、人工阻尼因数C等计算参数，观察迭代过程中板下边缘中点y方向位移的收敛变化情况.为方便观察位移随时间步变化情况，将收敛容差-设为0，程序根据最大迭代步终止计算.
（1）时间步长取Δt=2×10-7s，改变阻尼系数C时的位移收敛情况见图3.y方向的位移敛于1.011 8×10-5 mm，与弹性力学解1×10-5 mm相比，误差为1.18%.
由此可见，当阻尼系数相对较小时，位移值在理论解附近剧烈振荡且无法收敛；随着阻尼系数增大，位移振荡幅值降低，且最终收敛于理论解.当阻尼系数达到1×108 kg/（m3·s）时，位移值呈单调收敛，表现出类似超阻尼现象.阻尼系数继续增大，位移收敛逐渐变缓.合适地选取阻尼系数可以大幅提高准静态求解的计算效率.根据本文分组比较与分析，建议将局部阻尼项阻尼系数取为5×107～5×108 kg/（m3·s）.
（2）取阻尼系数C=2×108 kg/（m3·s）不变，改变时间步长Δt进行分析，见图4.随着时间步长的逐渐增大，位移的收敛也加快，其中时间步长为3×10-7s时收敛速度最快，但当时间步长取Δt=5×10-7s时，差分迭代出现不收敛.关于态型近场动力学计算中动力学迭代时间步长的理论推导目前还需进一步深入研究和讨论.
通过对人工阻尼系数和时间步长尺寸的敏感性分析可知，在基于态型近场动力学的准静力问题分析中，阻尼系数和时间步长的选取对计算效率影响非常关键.若选取合适的阻尼系数和时间步长，则计算将快速收敛（如图3和4）.此外，依靠最大迭代数终止计算具有很强的不稳定性且无法反映计算结果的收敛情况，因此引入收敛准则显得极为重要.
根据式（19）的失衡力准则，分别选取不同收敛容差，进行分组计算.分别取C=1×108 kg/（m3·s）和Δt=2×10-7 s，计算结果见表1：当收敛容差-=1×10-4时，计算误差接近1%；当收敛容差继续减小时，计算误差仅有细微变化，而收敛迭代步数不断增加.综合考虑计算的精度和效率，收敛容差一般取1×10-4即可.
3.2 含中心裂纹板的裂纹扩展模拟
在图2所示的混凝土板中心位置设置20 mm×1 mm的初始裂纹，并在竖直方向施加均布拉伸载荷，计算混凝土材料的抗压强度和抗拉强度.对含不同角度中心裂纹的混凝土板进行分级准静力加载，观察裂纹开展情况，并确定其开裂载荷.时间步长取为Δt=2×10-7s，局部阻尼系数取C=2×108 kg/（m3·s），收敛容差取为-=1×10-4.
在上述平面模型中，近场范围为3倍物质点间距即δ=3 mm，裂纹宽度小于近场范围，在形成物质点对时断开所有跨越裂纹线的物质点对形成初始裂纹.
对于典型的平面I-II复合型裂纹扩展问题，根据脆性材料的最大拉应力准则可确定起裂角应满足sin θ0+（3cos θ0-1）cot β=0，其中θ0为起裂角，β为裂纹与加载方向夹角.当β分别为30°，45°，60°和90°时，理论计算所得起裂角θ0分别为60°，53.1°，43.2°和0°.
逐级加载过程如下：在初始加载时，以0.030 MPa为载荷增量进行施加，每次确定系统平衡后施加下一增量步；在系统出现损伤后，退回一个增量步将载荷增量降低为0.003 MPa进行加载，模拟裂纹的稳定扩展，直至最后失稳扩展，系统无法平衡，不满足式（19）.
图5a～5d分别显示含45°初始裂纹混凝土板中从裂尖出现损伤、演化成裂纹起裂直至最后裂纹失稳扩展直至贯穿的全过程.根据分级加载算法可以确定，含45°初始裂纹混凝土板的最终破坏载荷为0.441 MPa，即载荷增加到0.441 MPa时，系统无法达到平衡状态，无法承受下一载荷增量，随着动力学方程的继续迭代，裂纹自然的快速失稳扩展.
其他含不同初始角度裂纹混凝土板的破坏过程与含45°初始裂纹板类似，均由弹性变形、损伤累积、起裂和稳定扩展、失稳扩展等阶段组成，主要区别在于最终的破坏载荷以及裂纹扩展路径，详见图6.由图6可知，尽管初始裂纹的倾角不同，裂纹最终基本会沿着垂直于加载方向快速扩展，与试验结果一致.各种情况下裂纹的起裂角也与根据最大周向拉应力计算的理论结果较为吻合.此外，由模拟结果可知，当初始裂纹与加载方向夹角β增大时，I型裂纹所占的比例增加，板的承载能力也随之下降，最终破坏载荷减小.这一结果也符合实际情况.
4 结 论
（1）考虑混凝土类材料的拉压异性和宏观断裂
特征，建立混凝土新的态型近场动力学本构模型，并通过引入动态松弛、系统失衡判断、力边界等效等系列算法，构建完整的适合于求解混凝土材料和结构变形破坏过程的态型近场动力学数值体系.
（2）通过对典型混凝土板的准静态定量变形分析，验证本文模型和算法的收敛性、计算精度和计算效率，并讨论局部阻尼、时间步长和收敛容差等计算变量的选取对态型近场动力学计算精度和效率的影响，给出合理取值范围建议.
（3）通过分级加载实现混凝土类材料和结构从弹性变形、损伤累积、裂纹稳定扩展以及失稳破坏全过程的连续模拟与定量分析，并成功开展含不同角度中心裂纹混凝土板的破坏过程模拟，模拟所得起裂角和裂纹扩展路径与试验结果和理论值吻合，对结构破坏载荷的定量计算结果与变化规律符合实际情况.
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