摘要：悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学等学科的非常广泛的论题。而其中的数学悖论对数学的发展更是有着重要的影响。本文阐述了数学悖论产生的原因、历史及现状，并分别探讨了数学悖论在基础数学研究中的价值以及它在数学教学中的教育价值，从另一个角度发掘数学悖论的价值所在。
关键词：悖论；数学悖论；认识论；基础研究
悖论，早在古代哲学史中就作为一个引人瞩目的语言现象和逻辑现象而存在。但在相当长的一段时间内，未能引起哲学家和数学家们的足够重视，因为人们通常认为悖论不过是巧妙编制的谬论，直到1901年，著名的哲学家、数学家罗素在集合论中发现震动性的罗素悖论，才使大家转变了对悖论的认识。回顾自然科学的发展史，曾出现过大量的悖论，引起了一次又一次科学理论的危机，给一些人带来了烦恼和失望。然而正是这些悖论的出现和消除，极大地促进了自然科学的发展，标志着科学的真正进步。本文以数学悖论为研究重点，对悖论的发展及其意义提出粗浅的看法。
一、 悖论与数学悖论
“悖论”一词来自希腊文，是超出、违反、对抗之意和料想之意的合称。笼统地讲，悖论是逻辑学的名词，是指一种导致矛盾的推理过程。中国大百科全书哲学卷曾这样定义悖论：指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命题A ，若肯定A ，就推出非A ；反之，若肯定非A，又可以推出A。
悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩、谬论不仅从公认的理论上看是错误的，而且通过已有的理论、逻辑可以论证其错误的原因，而对于悖论虽然感到不妥当，但从它所在的理论体系内，却不能阐明其错误的原因，可见悖论对于它所在的历史阶段与科学理论体系而言是解释不了的矛盾。
数学悖论是指一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论。数学悖论有三种主要形式：(1)一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的；(2)一种论断看起来好像肯定正确，但实际上却是错了；(3)一系列推理看起来几乎无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
数学悖论是数学分支趣味数学的一个组成部分，有些数学理论起源于数学悖论，如：欧拉的拓扑学，冯·纽曼的博弈论等，可以说数学悖论是新数学理论的一块滋生地。此外，趣味数学同样具有重要的教育价值，在课堂教学中，适当、恰当地向学生介绍一些数学悖论，可以激发学生对数学的兴趣；丰富课堂教学活动；让学生洞悉解题过程；提高学生对现代数学多样性的鉴赏力。
数学发展从来不是直线式的，也并不总是和谐的，而是常常出现悖论，但正是这些重要悖论的产生，为未来的发展提供了契机，进而艰难的悖论总是以熠熠生辉的方式使之得到美妙的结论。但悖论在数学中也出现了一种严重的问题，所造成的事实是对数学基础的怀疑及对数学可靠性的动摇，甚至导致“数学危机”。因此，数学悖论的产生使人们更加自觉地认识到其在数学发展中的重要性。
二、 数学悖论在基础数学研究中的价值
纵观数学基础研究的历史，悖伦的发现与解决，无疑是起到了强有力的杠杆作用。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边是不可通约的，这一发现被看做是一种悖论，导致了数学史上的第一次危机。这一悖论的解决以确定了无理数的合法席位而告终，并导致了公理几何学与逻辑学这一对双胞胎的诞生。
自17世纪下半叶微积分诞生以来，在数学界出现的混乱局面被称为数学史上的第二次危机。无穷小量到底是什么？ 主观唯心论哲学家贝克莱大主教攻击无穷小量是“已死量的幽灵”“变化率只不是消失了量的鬼魂”，被称为贝克莱悖论。19世纪初，柯西详细而系统地发展了极限理论，用“以零为极限的变量”来解决莱布尼兹的“无穷小”。随后狄德金、康托、外尔斯特拉斯等人相继建立了严整的实数理论，使微积分有了牢固的基础，结束了300年的混乱局面。
数学的第三次危机是集合论中悖论的出现及其引起的争论局面。1902年著名的逻辑学家、数学家罗素提出的悖论引起了整个数学界的震惊，激起了数学研究者们的热情。罗素悖论提出：集合可分为两类，一类是集合A是它本身的元素，即A ∈A ，称为本身分子集；另一类是非本身分子集，问：一切非本身分子集全体构成的集合是哪一种集合。由于罗素悖论仅涉及集合论最基本的概念：元素、属于、集合，而且极其简单明了，这不能不引起数学界的极大震惊。数学家们经过仔细研究，发现罗素悖论来源于“集合”这个概念自身的描述定义上，于是为解决危机而改造集合论的方案相继被提出，类型论、多值逻辑、公理集合论等等，推动了数学基础学科的蓬勃发展。1908年德国数学家策梅罗追索到问题主要出现在概括原则所肯定的那种造集的任意性上，因此，策梅罗首先构造公理系统，在保留概括原则之中“合理因素”的前提下，对造集的任意性加以限制，又经另一位数学家弗朗克在1922年的补充完善，形成了称为ZC公理系统的集合论公理系统，后又加上选择公理，构成了著名的集合论ZFC公理系统。在这个系统中把已经出现的逻辑、数学悖论予以排除，而且一直发展到今天尚未出现其他矛盾。遗憾的是ZFC系统本身的无矛盾性至今尚未解决，不能保证在该系统中不出现新的悖论。
由于悖论和相容性等问题的激发，从19世纪末到20世纪前30年间逐渐形成了关于数学基础主要思想的三大派别：逻辑主义、直觉主义和形式主义，他们之间的激烈争论，标志着对数学基础问题更深入、更本质的考查。
以英国数学家罗素和怀特海德为代表的逻辑主义认为数学来源于逻辑，并成为逻辑的延伸和拓展，在他们的思想中认为逻辑方法就保证了数学的协调性而不需要数学所有的公理。其主要代表罗素的分支类型论在数理逻辑发展史上具有重大意义。
以荷兰数学家布劳尔为代表的直觉主义又称为构造主义，他们认为数学思想是一个构造过程，不依赖于经验世界，也不需要模型。唯一的限制就是以基本的数学直觉为基础，所以数学观念在语言、逻辑和经验主义以前，是直觉决定着正确和可接受性。他们在数学上的出发点是自然数论，其构造性理论在数学上取得了很大的成就。
以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义认为，必须把数学和逻辑同时处理，在数学的每一个领域应借助于逻辑概念及数学概念和原理获得一种公理基础。他们证明了算术的协调性，导致了元数学既证明论的产生。
被誉为开辟了数理逻辑新纪元的哥德尔不完备性定理的诞生也与悖论有着密切的关系。哥德尔在从事不完备性定理的研究过程中，研究了“扯荒者悖论”和“理查德悖论”，深受启发，他改造了扯荒者悖论，利用了与理查德悖论相似的方法，十分巧妙地构造了一个不可判定命题，这个不可判定的命题类似悖论，但又避免了悖论。
综上所述，我们能看到每一个悖论的出现，都为数学基础问题提出了新的研究方向，而每一次人们对悖论的研究都会使数学发展进入一个崭新的阶段，使数学的基础不断的得到巩固和完善。
三、 数学悖论在数学教学中的教育价值
传统的数学教学理论一般都认为，数学教学应该尽可能地避免出现差异或者谬误，尤其是要避免出现悖论，因此，在这种“正确的”教学理论指导下的教学实践就是“正确的”的“数学结论”（包括事实、命题、法则、规律、推理和证明等）的展示、表演与习得、操练与熟悉。但是，即使是算术的教学，在这种教学理论的指导下，大多数学生最多也只能获得一些“死的”概念、符号和计算程序，而无法获得真正的“数感”(number sense)。
正因为如此，我们提出并初步探讨了数学课堂教学中的“本原性问题”的理论与实践，以期望我们的学生在数学学习中不仅获得一些“固定的”结论和程序，也获得数学的实质和创造。
数学发展史上的诸多悖论，如果能够结合学校数学课程，并加以“合理的”处理，它们就可以成为数学课堂教学中的“本原性问题”；与此同时，在数学课堂教学实践中也涌现出许许多多的“原发性的”数学(悖论)，它们也是“数学本原性问题”，所有这些“悖论”，如果能够适当地加以运用和捕捉，都会其到意想不到的教育教学效果。
1. 数学发展史中的悖论及其对数学教育的意义。数学发展史上有名的“悖论”可能是以下三个：不可通约量（即无理数）的发现，无穷小量(即极限概念)的运用和集合悖论的发现(比如，罗素悖论)。它们不仅推动着数学的发展，而且也影响并激励着其他人类文化(尤其是哲学和人工智能)的发展和进步。数学悖论“特别是对中学生和大学生学好数学、逻辑学、物理学和语言学是有很大帮助的。他们可以从古今的数学思想中、经验中获得激励自己的意志，启迪自己的智慧。”但是，这里我们并不想就这三大数学发展史上的悖论进行详细的论述以说明“数学悖论”的教育意义，而是分析数学发展史上一些“微不足道”的悖论来展示其数学教育教学意义。
(1)由2+2=5“”可以推出“罗素是教皇”。这其实是罗素回应把“实质蕴涵”斥之为奇谈怪论的那些人的一个“中规中矩”的“由假命题可以推出任何命题”的例证[正因为如此，(数学)证明只有以真命题为前提才可能是有效的，否则就会出现有意义而无效的证明]：2+2=5→2+2-1=5-1→3=4→3-1=4-1→2=3→2-1=3-2→1=2→2=1。众所周知，教皇和罗素是两个人，因为2=1，所以教皇和罗素的一个人，也就是说：罗素就是教皇。由此可见，在逻辑的意义上，推理和证明是有区别的(尽管我们通常不做这种区分)：证明是前提为真的推理，而推理一般不要求前提必须为真——它是由若干命题运用“有效的推理形式”而导出(其他)若干命题的逻辑思维过程。但是，并不是每一个通过数学(教育)而发展其逻辑思维能力的人都通晓甚至知晓这一点。
(2)满头黑发其实和秃子一样没有头发。大家都知道，秃子头上多加一根头发，他还是秃子；同样的道理满头黑发的人头上少一根头发，其实仍然是满头黑发——这是毫无疑问的。但是，如果我们把这个过程或推理一直进行下去(其实不需要“一直下去”，只需要“足够多次”就可以了)就会发现：秃子和满头黑发的人的头发是一样多的，没有什么差别！这显然与我们的日常经验相矛盾。为什么会这样呢？其实这是对“(数学)归纳法”的误用，(现在，你真的知道了吗？)同时也说明：对于秃与不秃，我们没有一个明确的定义，甚至也不可能会有一个明确的界定——模糊数学研究的对象！
其实，在数学发展史上，人们经常把这类“问题”归结为“概率问题”或“统计问题”，所以才造成了诸如此类的“悖论”——确定性数学、统计数学和模糊数学可谓现代数学的三大“分支”。
(3)伽利略的难题。伽利略在研究算术时发现，自然数和偶数之间可以建立一一对应的关系，所以自然数和偶数应该一样多，但是，明明自然数比偶数多(而且还多很多很多，以至无穷多)：一个无限集合怎么和它的一个真子集之间进行对应元素的配对呢？——这就是伽利略的难题！这其实已经涉及到“有限数学”和“无限数学”的区别，但是，伽利略那个时代，人们对此还没有“清醒”认识。
这类数学发展史上的“微不足道”的悖论还有很多很多．如果我们能够很好地加以改造并加以运用于数学的课堂教学当中，那么将会极大地提升学生们对数学(学习)的兴趣甚至自信，并促进其对数学实质的追求与理解。
2. 数学教学中的“悖论”及其教育价值。下面是我们在教学中所遭遇或发现或涉及到的数学(学习)悖论，就这些悖论与学生们一起讨论和交流有助于他们对数学实质的理解与欣赏。
(1)运用无意义词组或概念所造成的悖论。“零除以任何数都得零”这一判断或命题经常出现在学习算术的学生的检测题的判断中，其“标准答案或参考答案”多为“不正确”或“是错的”(因为零不能作除数)。但是，如果我们稍做一些分析就会发现：“不正确”或“是错的”这一“标准答案或参考答案”预设了词组“零除以任何数”应该有明确的“算术”含义——既然“零不能作除数”，那么，“零除以任何数”要有意义，其作为除数的“任何数”就不能是零！否则，“零除以任何数”在“任何数”为零的前提下就没有“算术意义”，因而也就无所谓“对错”或者“正确与错误”之别。这犹如对于无神论者而言，问其“上帝是否万能？”是没有意义的一样，因为“上帝”对于无神论者来说是不存在的，(在真假的意义上)也是无意义的。
(2)不同算法中所蕴涵的“悖论”。24÷2÷5=？就是这么个简单的算术问题，我们在教学中发现学生们至少有以下两种算法：①24÷2÷5=（24÷2）÷5=12÷5=2余2；②24÷2÷5=24÷2（×5）=24÷10=2余4。结果学生们发现：“答案不一样！”于是就提出了问题：“哪一个对哪一个错呢？”从某种程度上讲，这样的提问方式表明，同学们还没有领会“带余除法的实质”。我们进一步也会发现：应用题情景中学生们更倾向于运用第二种算法，而在“纯算术形式”下则更可能按照“从左到右的顺序”来计算。与此同时，我们也会发现：当老师们遇到这类“悖论”时，多采取“漠视”的态度或“敷衍”的方式来处理，这显然不利于学生们对“数学实质”的理解，于是就更谈不上对“数学实质”的追求与欣赏了。其实，就是这类看似简单但其教育教学意义重大的数学学习“悖论”，如果能被我们的老师们及时抓住，并加以引导、对话、交流和讨论，将会对学生产生终身的益处或“长效”。
(3)数学归纳法的不当使用所引起的“麻烦”。我们可以证明“所有金发的女孩都是蓝眼睛”。因为“如果任何n个女孩之中，至少有一个是蓝眼睛时，那么这n个女孩便都是蓝眼睛的”。下面我们就用数学归纳法来证明这个命题。
证①n=1时，命题显然成立(可以验证)。②假设n=k时，命题成立，即“如果这k个金发女孩之中，至少有一个是蓝眼睛时，那么这k个女孩便都是蓝眼睛的”成立。则n=k+1时，我们要证明的是：“如果(k+1)个金发女孩之中，至少有一个是蓝眼睛时，那么这(k+1)个女孩便都是蓝眼睛的”。
为此，我们不妨假设这(k+1)个金发女孩分别为：G1,G2…，Gk，Gk+1，且G1为蓝眼睛，那么根据归纳假设，我们有G1,G2…，Gk都是蓝眼睛的，同理，G1,…,Gk-1，Gk+1也都是蓝眼睛的。即G1,G2，…，Gk，Gk+1这(k+1)个金发女孩都是蓝眼睛的。
故此，由①，②可知：命题得证。问题在于这个结论显而易见地与我们的生活经验粗矛盾。那么，这个证明过程有什么问题？如果有问题，那问题又出在哪呢？关于这个“悖论”的解答我们不打算给出，但是，如果你能够自己分析出这个“悖论”产生的原因，那么，你对“数学归纳法”的理解将会“更上一层楼” ！
无论是数学发展史中的“原初”悖论(相对于整个人类而言)，还是数学教学中的“原发”悖论(相对于师生的课堂教学活动而言)，其教育意义或价值至少有以下几点：(1)激发学生对数学的学习或研究兴趣；(2)促使学生更好地了解某种重要的学习思想；(3)开发丰富多彩的数学学习活动；(4)帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决过程；(5)提升学生对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。
参考文献：
[1]李思一,白葆林.从惊讶到思考——数学悖论奇[M].北京:科学技术 文献出版社,1986.
[2]徐文彬.课堂教学中的本原性问题及其教育价值[J].当代教育科 学,2004(19).
[3]跃春.认知悖论及其逻辑问题[J].学术界,2002(5).
(盐城师范学院数学科学学院)