摘 要:本文主要介绍了压缩传感(CS)理论在医学CT成像技术领域中的应用及发展状况,同时综述了基于压缩传感的几种CT图像重构算法,并分别分析了它们的优缺点,最后阐述了未来的发展趋势。
关键词:压缩传感稀疏表示CT成像重构算法
中图分类号:TP391文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)07(b)-0236-03
Abstract:This article mainly introduced the compressed sensing(CS)theory in the field of medical CT imaging technology application and development status,and summarized several CT image reconstruction algorithms which were based on CS,and analyzed their advantages and disadvantages,and finally expounds the future trend of development.
KeyWords:Compressed Sensing(CS);Sparse Representation;Medical CT Imaging;Reconstruction Algorithm
随着医学技术的飞速发展,临床上对人体内部结构的信息量的需求也越来越大,在对人体图像数据进行采集的过程中,传统的奈奎斯特采样定理由于受到“信号的采样速率至少必须达到信号带宽的两倍才能精确重构信号”的限制,已经远远无法满足现在的医学领域对信息量的需求,因此迫切需要一种更简洁方便的数据采集处理理论来缓解这种压力。[1]近年来出现的一种新的理论—— 压缩传感理论(Compressed Sensing CS)有效快捷地解决了这一难题。这一理论浓缩了传统的信号获取和处理的四个步骤(采样、压缩、传输和解压缩),将压缩与采样合并进行。[2]该理论指出,当信号具有可压缩性或其在某个变换域具有稀疏性时,首先采集少量信号的非自适应线性投影测量值,然后根据相应的重构算法通过求解一个优化问题从这些少量的投影值中准确或近似地重构出原始信号。[3]这种方法的采样速率不再决定于信号的带宽,而是决定于信息在信号中的结构和内容,因此,该理论的提出使得信号的采样率和存储传输的成本都大大降低。[4]
在医学领域中,传统的图像重建算法由于本身的非局部性特征,使得要重建物体的某一断面必须对物体进行180度全方位扫描来采集完整的数据,如果得到的数据不完整,重建的效果将急剧恶化。[5]目前,用于医学诊断领域的计算机断层成像技术(Computed Tomography,CT)是通过对物体进行不同角度下的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像技术,目前该技术已经被广泛应用于医学诊断领域,将压缩传感理论有效地用于该类医学诊断和治疗中,有很好的应用前景。[6]
1 压缩传感基本理论
1.1 信号的稀疏表示
稀疏信号指的是一个信号中只有很少量的非零元素,而通常情况下时域内的自然信号都不是稀疏信号,但其在某些变换域内却可能是稀疏的,因此只要信号在某一个正交空间变换域上具有这种稀疏性,就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上,从而实现信号的稀疏表示[7]。
假设一个长度为N的一维离散时间信号X,可以表示为一组标准正交基的线性组合:
或(1)
其中,,为N维列向量,的列向量x是X的加权系数序列,,因此x是信号X的等价表示。如果x只有K个元素为非零,则称x是信号X的K-稀疏表示。
1.2 信号的测量编码
通过某种正交变换得到信号的稀疏表示后,在信号的编码测量过程中,直接测量的不是稀疏信号X本身,而是需要设计一个观测矩阵将信号X投影到一组测量向量上,
得到测量值,用矩阵形式表示为:
(2)
其中X是矩阵,Y是矩阵,是的测量矩阵,将(1)式代入(2)式得:
(3)
式中是矩阵。因为测量值的维数,即方程的个数远远少于未知数的个数,求解(2)式的逆问题是一个欠定问题,一般情况下是无确定解的,所以无法直接从Y的M个测量值中解出信号X,然而因为(3)式中的x具有K稀疏性(K 在这个求解过程中,为了保证算法的收敛性,使得K个系数能从M个测量值中准确地恢复出来,(3)式中的矩阵必须满足约束等距性(RIP),简单来讲就是测量矩阵与稀疏矩阵不相关。因为随机高斯矩阵与大多数固定正交基构成的矩阵不相关,所以目前的研究中多数情况下选高斯矩阵作为观测矩阵。 1.3 信号的解码重构 在压缩传感理论中,原始的信号越稀疏,重构信号就越接近于源信号。由于观测数量M远小于信号长度N,表面上看,(2)式的欠定方程是无解的,但由于信号X是稀疏的或可压缩的,而且A矩阵满足RIP条件,这两个前提从根本上改变了这个问题的无解性,使得长度为N的信号可以从远小于N的M个观测值中精确地重构出来。 2 基于压缩传感的CT成像技术 2.1 医学CT成像的基本原理[8] 计算机断层成像(CT)技术是一种较为先进的成像技术,它是在无损状态下获得被检测物体各断层的灰度图像,以其灰度来分辨被检测断面内部的几何结构、材质情况、缺陷种类等,被国际上公认为最佳的无损检测手段。 当X射线穿过人体时,一部分光子被吸收,使得其强度成指数级衰减,未被吸收的光子穿过人体后被另一端预设的检测器吸收,经过放大后转换成电子流,得到模拟信号之后再转换成数字信号输入计算机中进行处理,从而得到重建图像供医学诊断使用。检测器接收到的信号强弱取决于人体横截面内组织的密度,密度高的组织吸收的X射线较多,检测器得到的信号就弱;反之,低密度的组织吸收的X射线较少,检测到的信号相对就强。X射线通过均匀物质后的强度与入射强度的关系为: (4) 其中,为X射线在物质中传播的距离,为该物质对X射线的衰减系数。CT诊断正是利用X射线穿透人体后的衰减特性作为诊断病变的依据的。 总的来讲,CT成像的基本原理是采用准直后的X射线束对人体的某一个层面从不同的角度进行照射,在射线穿过的另一端利用预设的探测器接收多组原始数据,经过计算机重建后得到用于显示的二维数据矩阵,通过显示设备显示出重构图像。 2.2 压缩传感在CT成像中的应用 临床上,当病人出现某种症状时,在很多情况下,需要细致精确地了解人体发病部位的组织结构,但是由于种种条件的限制,又不能对该部位破损进行观察。在这种情况下,运用CS理论通过少量的投影数据就能完全重建出病症部位的图像,不仅能减少人体所受的X射线辐射所带来的伤害,同时由于减少了采集的数据量,也会使成像时间大大缩短,有利于医生迅速地诊断病症,为治疗节约了宝贵的时间。 3 基于压缩传感的CT图像重构算法 重构算法的关键是如何从压缩传感得到的低维数据中精確地恢复出原始的高维数据,基于压缩传感的CT图像重构算法是本文的核心内容,从压缩传感理论提出至今,可以用于CT成像的压缩传感重构算法有很多,下面介绍几种当前比较具有优势的CT图像重构算法。 3.1 代数重构(ART)算法 ART算法是一种重要的CT图像重构方法,该算法最大的优点就是它适合于不完全投影数据的图像重构,而且能够有效地克服噪声的影响,而其最大的缺点是重构的速度比较慢,从而限制了其在医学和其它相关领域的应用。近年来,众多学者对提高ART算法的重构速度进行了大量的研究,已经取得了明显的加速效果,并且随着计算机技术的发展,ART算法的缺点已经逐渐地降为次要矛盾,而提高该算法的重构质量却越来越引起人们的重视。 传统ART算法在重构图像中普遍存在椒盐噪声,为提高图像重构的质量和速度,本节利用刚刚兴起不久却发展迅速的压缩传感理论提出了一种基于ART的高质量CT图像重构算法。由于CT图像具有稀疏性,利用压缩传感原理进行图像重构时,所需要的观测值远远少于奈奎斯特采样定理所要求的观测值。[10]对于K-稀疏图像,用3K~5K个观测值就可以精确重构出原始图像。该算法将CT图像的梯度稀疏性先验知识结合到ART图像重构中,在每次迭代中的投影操作结束后用梯度下降法调整全变差,减小图像梯度的范数。 将压缩感知理论用于ART算法中,对实际的CT图像进行重构,有关实验结果表明,在算法迭代10次时重构图像的PSNR已经远远高于传统的ART算法。传统的ART算法在迭代3～4次后,PSNR的增长就趋于平缓,收敛于线性方程组的解,而基于压缩传感的ART算法在迭代3～4次后的PSNR仍然保持较快的增长速度。因此,本算法在CT图像重构领域具有很好的应用前景,值得更进一步的研究与探讨。 3.2 基于混合基稀疏表示的凸集交替投影重构算法[12] 在压缩传感理论中,影响图像重构质量关键因素是图像的稀疏表示,当前在压缩传感图像重构算法中只利用单一的基函数来表示图像,但是实际上大多数自然图像同时包含了光滑、边缘和纹理三种成分,只是这三种成分所占比重不同。由于单一基函数不能同时对包含边缘和纹理信息的自然图像实现最优化的压缩传感图像重构,本节就这个问题提出用拉普拉斯塔式分解表示图像光滑成分,用圆对称轮廓波表示图像边缘成分,用窄带轮廓波来实现纹理成分稀疏表示,用公式表示为: (8) 式中,,,,矩阵每一列对应的稀疏变换中一个基向量,表示对应的变换系数组成的向量。可以通过相应的稀疏逆变换实现。和用DoG和Gabor基描述,但是由于这两种变换目前没有有效的数值重构算法,只适用在不需要进行图像重构的场合,因此不能直接用于压缩传感图像重构。一方面,拉普拉斯塔式分解的基函数与DoG函数相似,而圆对称轮廓波基函数又与Gabor函数相似,它消除轮廓波本身存在的频谱混淆现象,同时其方向选择性和稀疏性比轮廓波更强,能实现图像的边缘成分稀疏表示,因此分别用这两个函数就可以表示图像的光滑成分和边缘成分。另一方面,拉普拉斯塔式分解和圆对称轮廓波变换都存在对称逆变换,它们都适用在压缩传感等需要图像重构的场合。再把每个圆对称轮廓波变换径向的尺度分解成4个,形成窄带轮廓波变换,使其本身具有的多方向性和局部周期性这两个特点能够迅速捕捉到结构纹理信息,从而获得图像纹理稀疏表示。 得到了图像的混合基稀疏表示后,用基于压缩传感凸集交替投影算法实现图像重构。基于混合基稀疏表示的凸集交替投影重构算法能够显著提高压缩传感图像的重构性能,也能在图像超分辨率、图像复原和图像修复等需要稀疏先验知识的反问题中应用。到目前为止,还没有非常完整准确地实践可以将该算法直接用于CT图像中,但它俨然是下一步在医学CT成像领域需要深入研究的方向。 4 总结与展望 从2004年压缩感知理论提出至今,该理论得到了飞速发展。在压缩传感理论中,信号或者图像的采样和压缩以低速率同时进行,使传感器的采样和计算成本大大降低,而信号的恢复过程是一个优化计算的过程。所以,该理论是将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径,具有直接信息采样特性。由于从理论上讲任何信号都具有可压缩性,只要能找到其相应的稀疏表示空间,就可以有效地进行压缩采样。压缩传感理论的引人之处还在于它对应用科学和工程的许多领域具有重要的影响和实践意义,如统计学、信息论、编码等。目前,压缩感知理论在信号恢复优化问题求解、信号稀疏变换和采样观测矩阵的设计等几个方面都取得了一定进展。 在医学CT图像重构方面,将压縮传感理论运用其中具有许多常规影像无法具备的优势,它不但可以更加准确地判定各种病变的程度,还能在肿瘤等各种较为严重病变的早期发现和治疗效果等多方面提供许多更有价值的信息。基于压缩传感理论的CT成像技术不但可以清晰直观地显示组织器官和病变组织的信息,而且在未来疾病的功能成像诊断中将发挥重要的作用。但是由于压缩传感理论还没有发展到非常成熟的阶段,国内外的诸多研究也仅仅是限于理论上的,真正将其投入到实际的CT图像重构运用当中还需要一个长期的过程,也是未来医学成像领域的新的发展趋势,有很广阔的研究和应用前景。 参考文献 [1] DONOHO D.Compressed Sensing [J]. IEEE Trans.Information Theory,2006, 52(4):1289～1306. [2] CANDES E,WAKINM.An Introduction to Compressive Sampling[J].IEEE Signal Processing Magazine,2008,25(2):21～30. [3] Duarte M F,Davenport M A,Takhar D,Sun T,Kelly K F,Baraniuk R G.Single-pixel imaging via compressing sampling.IEEE Signal Processing Magazine,2008,25(2):83～91. [4] 高睿.基于压缩传感的匹配追踪重建算法研究,2009(6). [5] 李树涛,魏丹.压缩传感综述.自动化学报,2009.11,35(11):1369～1377. [6] 石光明,刘丹华,高大化等.压缩感知理论及其研究进展[J].电子学报,2009,37(5):1070～1081. [7] 喻玲娟,谢晓春.压缩感知理论简介.数字视频学报,2008.11.11,32(12):16～18. [8] 田捷,包尚联,周明全.医学影像处理与分析.电子工业出版社,9～18. [9]刘浩,尹忠科,王建英.正交匹配跟踪(OMP)算法的收敛性研究.微计算机信息,2008.24卷1-3期. [10]练秋生,郝鹏鹏.基于压缩传感原理的图像重建方法研究. [11]练秋生,郝鹏鹏.基于压缩传感和代数重建法的CT图像重建.光学技术,2009.05,35(3):1～4. [12]练秋生,陈书贞.基于混合基稀疏图像表示的压缩传感图像重构.自动化学报,2010.03,36(3):385～390.