摘要：文章从语言视角入手，对等号“=”的演变形成过程进行考据，对等号的语言表达功能从语义、运算指引、运算守恒等方面进行微观分析，对等号的教学研究形成新的理论框架，并提出等号教学的再思考：重视关键期、突破单边运算、正视等号语义替换功能。
关键词：等号；语言；运算；功能
中图分类号：G644.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0082-02
等号“=”是数学中的基本符号之一，不同层次的研习者对等号都非常熟悉，然而越是司空见惯的教育现象其背后的教育内涵却越容易被忽略。立足于数学符号的语言特征，本文对等号进行分析解读，并希冀在此基础上重新理解学生的某些学习问题。
一、等号“=”的考据
目前我们通用的“=”由威尔士数学家雷科德（Robert Recorde）于1557年出版的《砺智石》（The Whetstone of Witte）一书中首次采用[1]，雷科德当时写了这句话“...to avoid the tedious repetition of these words：“is equal to”，I will set（as I do often in work use）a pair of parallels（or Gemowe lines）of one length（thus ==），because no two things can be more equal.”[2]（为避免多次繁琐重复使用“等于”这个词，在日常工作中，我规定用一对平行线段或几对来表达“等于”，因为没有两件东西能比两根平行线更相等了。）等号“=”出现后，并没有立刻流行起来，其实这一现象也符合数学符号发展的客观历史规律，16世纪的数学界对数学符号的使用还处于简写代数阶段向符号代数阶段的过渡期，数学家们纷纷采用自创的数学符号来表达相等，既有简写式的等号，例如“?覸”（equal拉丁文aequalis前面两个字母的连写），也有符号化的等号，例如“~”（Vieta）、“∝”（Descartes）、“”（Harriot）、“д”，等等[3][4]。直到18世纪初“=”才得以广泛接受和运用，逐渐淘汰了其它表达形式，其背后深厚的数学文化内涵引人深思。首先，求解方程过程中相等关系的大量使用，直接推动了等号的加速演变与最终定型。事实上等号的出现亦与方程的近代发展有关，值得一提的是equation（等式、方程式）一词，从词根构成就可以发现方程式与等号的渊源，“三、四次方程的求解与符号代数的引入”[5]共同拉开了代数学乃至近代数学的序幕。表面上，当时的数学界等号有多种不同的表达方式，对交流造成一定的障碍。然而符号演进过程中，混乱的使用状况只会更加促使大家改变现状，将等号的表达统一起来进而标准化。其次，等号的引入符合使用数学符号的初衷。简单化是数学发展所追求的一个基本原则之一，等号引入的初始目的就是为了化烦为简，避免单调重复，而“=”无疑具有简洁与形象的基本特征。第三，作为代数学符号的“=”隐含着几何学背景。文艺复兴前初等几何学尤其是希腊数学，对欧洲数学的影响深远。事实上，公元前3世纪到14世纪，几何学以其公理化体系的应用有着严谨的推理方法，从而占据着数学的主导地位。在此背景下，雷科德认为一对平行线乃是最能表示相等的符号，相信能激起众多数学研习者的共鸣。最后，“=”对比于等号的其它符号形式，还具有运算方向指引的隐喻，并且符号本身具有一定的平衡感，因此得到大众接受亦在情理之中。
二、等号“=”的基本涵义及使用规则
“=”因替代be equal to（相等）而出现，表达着相等的基本含义。《现代汉语词典（第五版）》中相等的解释为“（数目、分量或程度等）彼此一样”，即相等是带有量化限定条件的相同。在运算过程中，对“=”的使用，大家通常采用模糊判断的方法：单个式子的运算序列用等号“=”连接，等式、方程、方程组的变形用推导符号“?圯”或“?圳”。这一规则贯穿于数学研习的各个层面，只是略有变形。
三、等号“=”的语言表达功能
等号与汉语中的标点符号在功能上有差异。后者的功能主要表示停顿、语气以及词语的性质和作用。作为数学符号的等号从最初的替换简化、语义连接功能逐渐演变，不断引申出新的功能。
1.语义功能。如果把数学表达理解成一种独特的语言体系，那么等号主要起到了语义连接、替换功能。在这种功能上，等号与语言标点符号中的标号有一定的相似性。①语义连接功能。等号将运算中的前后数、式连接起来，表现逻辑运算的进程。这种功能其实是由类似于“等于”的词义所决定，并已进入日常话语体系。
②语义替换功能。等号引入的初衷是替换词组“be equal to”，但等号除了表达“等于”之外，还可以表达“等于”的派生含义。首先，表达“…是（为）…”的含义，与冒号“：”有一定的相似性，主要起到了解释或规定的功能，等式的一边或等式作为一个整体诠释甚至规定了某个数学对象的具体含义。此种功能适用于数学概念的引入、数学公式的介绍。其次，等号可以表达带有一定的强制指令性的“等于”，类似于计算机语言中的赋值语句。另外，近现代数学的诸多概念无法直接用初等数学的相关概念来替代、组合生成，因此实质上等号突破了相等的基本含义。对于初学者来言，极限的等号表达形式无疑更容易被接受，这样极限的四则运算更类似于代数式运算，初学者完全可以抛开极限定义进行操作。
2.运算指向功能。运算指向功能的等号表达着“……得（得到）……”的含义，与推导符号“”有一定的相似性，指引着执行相关规则下数学对象运算的递推过程及结果。具有指向功能的等号涵盖的数学对象及运算非常丰富，从数、式之间的四则运算，再到对矩阵、行列式、群、环、域等更为抽象的数学对象所进行的种种运算……
3.运算守恒功能。等号的守恒功能，在微观上意指等式尤其是方程，在左右两边同时进行变形时，等号所起到的连接作用。在宏观上，其意为等式的整体表征，即等式两边共同构成一个整体，既使等式进行了变形，要表达的数学意义没有改变。在形式化运算程度较高的领域内，例如代数学、数论、数学分析等数学分支里面表现得更充分。常规的初等代数式求值运算对等号的需求并不明显，例如古代中国数学家普遍使用算筹参与运算，只要熟练相关运算规则，运算的流向十分清晰，人们对等号的使用需求并不迫切。《九章算术》中，“得”一词其实就相当于“等于”，使用十分普遍。至今我们在教学中还可以发现，有些学生在进行简单运算时不用等号来连接，直接用间隔、转行或“?圯”来表达运算。当方程出现后，相对于代数式运算，等号显得必不可少，因为方程同解原理的运用，涉及到等式两边的同时变形，等号保持着运算的可逆性，同时也保证等式两边的数学对象基于某种运算规则的数量平衡。如果不使用等号进行连接，出错的机率将会大增。这也是近代数学初期方程求解与符号代数需要连动发展的重要原因。笔者认为：这种学习误区的本质原因在于等号语义功能的思维定式所致，认为“A=B”是帮助去理解A或B，而无法将等式视为整体，即“A=B”本身就有确切的数学含义。
四、对等号教学的再思考
1.重视等号学习的关键期。等号的学习与使用，在学前教育阶段就已经开始，等号的功能主要集中在语义连接、运算指引功能上，此时的等号学习类似于语言学习，具有默会性、渗透性、反复性等特征，即从最初的学习起点就没有给出严格的使用规则，渗透到儿童语言交流的诸多方面，相同或近似的与等号相关的内容在相近的思维层次上会不断出现。根据HPM研究的基本观念——学生心理发生与历史发生的相似性，数学史中大量高次方程求解出现时等号才真正呼之欲出，因此等号使用的关键期是在解一元二次方程相关内容出现之际，正是在此时期等号的运算守恒功能才真正得以体现。因此，教师要重视此阶段的等号教学，教师不能让学生对等号的理解停留在语义替换的水平，要更侧重于启发学生去理解等号的运算守恒功能，将方程（等式）视之为整体，并有意识地引导学生对变形后的等式与原等式进行比较，确认等式的整体内涵。
2.突破单边运算指引的思维定式。站在运算指向功能这个角度，教师也可能对初学者出现诸如“1+2=3+3=6+4=10”、“x-3＝7＝x＝7+3＝x＝10”的错误时有了更多的理解。也正是等号的运算指向功能，外加我们阅读时从左向右的习惯，很多学生容易对等号形成单边指向的思维定式，忽视等式具有的对称性，即等式两边数学对象互换，不影响等式整体意义的传递。这种思维定式存在于不同阶段的学习中，例如学习了二项式定理，再次见到式子却无法将其与二项式定理联系起来。教学中，教师需要习惯性地将等式左右互换或引导学生从右往左观察等式，突破从左向右式单边运算的思维定式。
3.正视等号语义替换功能的拓展。等号替代相等这一数学关系，相等关系的确认取决于相等与相同两者之间的种差，然而两者关系之间的种差往往是新的数学概念、运算规则。随着新的数学概念、规则不断出现，数学知识不断扩容，从而导致相等关系的内涵与外延一直处于不断发展中，新旧数学概念之间、原来没有直接联系的数学对象之间也用等号连接。正视等号语义替换功能的拓展性才能分辨出不同数学对象的联系与区别，避免数学学习的“简单运算化”倾向。因此，在教学中让学习者“对概念、定理中的语言文字（字、词、句等）进行仔细推敲、逐字逐句地理解”[6]十分必要，使其能把握数学对象的意义，形成个性化的概念命题图式，为进一步的变形、推理打好基础。
参考文献：
[1][美]莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002：302.
[2]Equals sign[EB/OL].
http：//en.wikipedia.org/wiki/Equals_sign.
[3][5]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002.
[4]Emily Guerin.Who was the first person to use the modern equal sign？[EB/OL].
http：///answer/symbol.htm#equal.
作者简介：徐文龙（1975-），男，湖北武汉人，广东省东莞市广播电视大学，讲师，硕士研究生毕业，主要从事数学教育及教育理论研究。