摘要：“实变函数”是大学数学专业本科课程中的一门重要基础课。深化“实变函数”课程教学改革是大学数学专业发展的需要、是社会发展的需要、是推动素质教育的需要。从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨了“实变函数”课程的教学改革。
关键词：课程改革；教学改革；实变函数
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）23-0082-02
“实变函数”主要是由法国数学家Lebesgue于19世纪末、20世纪初创立的。它是大学数学专业本科课程中的一门重要基础课，可以拓展大学生的数学知识面，培养大学生的创新意识，提高大学生的抽象思维能力，深化大学生对现代分析数学理论的理解。它是普通微积分学的延续，其主要内容是克服了Riemann积分的缺点、以Lebesgue测度理论为基础的Lebesgue积分理论。[1]它是从事数学教学和科学研究必不可少的基础课程，其理论已被广泛应用到基础数学和应用数学的许多分支，诸如复分析、泛函分析、算子理论与算子代数、微分方程、概率论等。
“实变函数”是数学专业课程中既难教又难学的一门课程。它的诸多思想方法源于数学分析，然而又高于数学分析。该课程理论性强，内容抽象且对初学者的基础知识要求较高，其难度较高。另外，随着高等教育的普及化，数学专业的大学生成倍、甚至几十倍增加，学生的整体学习水平较之从前有了较大的下滑。[2]目前大部分高等院校的“实变函数”教学都面临着以下困境：教师投入的时间和精力越来越多，而学生的学习积极性和学习效果却越来越差；期末考核难度越来越低，而学生的考核成绩却越来越差。从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨了“实变函数”课程的教学改革。
一、教学内容
1.“实变函数”的教学内容是一个动态概念
一方面，“实变函数”的教学内容在不同历史时期是不同的，在不同的院校也是不同的。20世纪70年代，“实变函数”教学主要是在大学基础数学专业中开展，其内容是全面的集合论、测度论和积分论，讲解过程中强调严谨的推理和证明。目前绝大部分高等院校的数学专业都已经开设了“实变函数”课程，其中大部分工科类院校的实变函数主要是介绍相关的概念和常识，讲解过程中强调证明思想和证明方法。另一方面，“实变函数”的教学内容以课程定位为基础，需要在教与学的实践过程中不断完善和发展。准确的课程定位是课程改革和教学改革成功的前提，[2，3]是撰写教学大纲和授课计划的基础。即使有了一份定位准确的教学大纲和一份合适的授课计划，如果在讲授过程中不能根据学生的学习情况进行合理调整，而只是严格按照教学大纲和授课计划进行教学，那么必然不会达到理想的教学效果。要保持良好的教学效果，就要根据教与学的实践情况不断对教学内容进行完善和发展。从这个意义上讲，“实变函数”的教学内容也不是一成不变的，它是一个动态的概念。
2.“实变函数”的内容抽象，初学者往往会感到枯乏难懂
为了激发学生的学习兴趣，笔者在教学内容中合理地植入了一些问题的研究背景和Hilbert等数学家的传奇人生故事。实变函数中许多定理的证明思想美妙而独特，证明过程却繁冗而复杂。教学过程中如果过于坚持严谨会使学生产生厌倦甚至选择放弃。[4]为了增加趣味性，笔者将教学内容中的一些定理证明过程调整为证明思想和方法的讲解。习题是课本内容的延续和补充，它可以帮助学生加深对教学内容的理解，习题课是教学内容不可或缺的一部分。实变函数课本中的习题大部分都是难度较大的典型题目，其中分析题较多。为了让习题更加贴近授课内容，让学生能够积极思考实变函数的相关问题，笔者在课本习题中增加了若干易于学生上手的过渡性习题。这些对传统教学内容的变革，在“实变函数”教学过程中取得了较好的效果。
二、教学方法
“实变函数”课程教学往往采用“满堂灌”式的板书教学，课堂是教师一个人的舞台，学生只是被动的接受。这种传统的教学方式必然会影响到教学效果，在“实变函数”课程教学改革过程中应该重视教学方法的改革。在教学过程中，笔者将多媒体和板书组合使用，注重和学生交流互动，将教学与科研相互结合，采用了教学内容的分层教学法。
第一，伴随着教育现代化，计算机已经融入到大学课程的教学之中。在“实变函数”教学过程中，合理使用多媒体可以拓展课堂上有限的时间和空间，切实提高教学质量。“实变函数”多媒体教学需要和板书教学有机的组合使用。基本概念、定理、性质、图像等都可以使用多媒体呈现，这样既节省了课堂上有限的时间和空间，又提高了教学内容的阅读性。而理论性的推导过程和证明的思想方法仍然需要通过板书呈现，这样可以培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
第二，实变函数是数学分析的延续，是“泛函分析”等课程的基础。在“实变函数”教学过程中，合理类比这些学科的相关知识点，可以促使大学生形成完整的知识面，加深对“实变函数”课程的理解，也可使大学生认识到该课程的重要性。例如在讲授“实变函数”课程中抽象度量空间的距离概念时，笔者将度量空间中的距离概念与直线上两点之间的距离进行类比，学生容易发现前者是后者的推广，从而比较容易理解和接受度量空间中的距离概念，取到了较好的教学效果。
第三，目前在大多数高等院校中，实变函数的主讲教师都具有硕士或者博士学位，在相关专业方向也都具有一定的科学研究背景。在“实变函数”教学过程中，教师应该将教学与科研相结合，利用科学研究的成果深化“实变函数”教学，通过“实变函数”教学促进科学研究。在课堂上，提出与教学内容相关的科研问题，并且让学生参与到问题的谈论和研究之中。这样可以激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，帮助学生树立从事科学研究的理想。
第四，授课内容的分层教学是指将授课内容由浅入深、由简单到复杂合理分层，再循序渐进引导学生学习。例如可测集类这一章节的主要教学内容是介绍n维欧几里得空间中可测集。教学中，笔者先从最简单的零测度集出发，然后过渡到区间和开（闭）集合，再延伸到Borel集，最后和学生一起利用Borel集和零测度集来讨论可测集的构造。通过由易入难的分层教学，往往可以收到较好的教学效果。
三、考核方式
教与学的真实效果需要通过考核来检验，考核是“实变函数”课程教学过程中的一个必不可少的重要环节。建立合理的考核体系是实现考核目标的前提。在“实变函数”课程的平时成绩测算过程中，笔者综合考虑了学生的考勤、作业、课堂讨论、听课记录以及平时测验等因素，将学生的平时表现分别细化和量化并且加权平均产生平时成绩。对于“实变函数”课程的期中和期末考核，笔者采用了卷面考核（开卷或闭卷），也尝试了问答型口试考核。最后，将平时成绩、期中成绩和期末成绩进行合理的加权平均产生期末总评成绩。
四、结束语
以上是笔者从教学内容、教学方法和考核方式三个方面对“实变函数”课程教学改革的几点思考。教学过程中仍需具体问题具体分析，根据实际的教学情况灵活处理。
参考文献：
[1]程其襄，张奠宙，魏国强，等.实变函数和泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]关洪岩，郝妍，张明.实变函数论的教学改革[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2012，30（1）：115-118.
[3]童武.关于《实变函数》课程建设的实践与思考[J].首都师范大学学报（自然科学版），1998，19（1）：15-19.
[4]刘晓波.“教学做合一”理论在实变函数课程教学中的实践[J].高等理科教育，2013，110（4）：82-85.
（责任编辑：孙晴）