【摘要】本文结合实际教学情况，对逆矩阵的几种讨论方法进行归纳总结，说明多种方法可灵活运用。
【关键词】逆矩阵;初等变换;满秩
逆矩阵在实际中的应用非常广泛。例如在经济数学模型中，我们时常研究投入产出问题，一般情况下需要建立形如
的矩阵方程，并在一定条件下求解未知矩阵
，这一实际问题的提出，就引出了矩阵的逆。在《线性代数》课程中，逆矩阵本身也是矩阵运算中的一大类重点、难点问题，因此，矩阵逆的计算也备受关注。笔者就这一问题展开讨论，并将几种方法归纳总结如下：
一、定义法：
定义：对于
阶方阵
，若存在
阶方阵
，使得
（
为阶单位阵），则称方阵可逆，且方阵称为方阵的逆矩阵。
（由于、互逆，故只需验证
或
其中一个成立即可）
例1.已知方阵满足
，验证
可逆并求
。、
证：由原式，得：
，
由分配率，有：
，
故可逆且
。
二、公式法：
可逆
，且
（其中
为的伴随阵）
例2.讨论
的逆。
解：
，
可逆，且又
，
。
三、分块法：
- 假设
，且
、
可逆，则
; - 假设
，且
可逆，则
。
- 求
的逆。
解：令
，则
，
，故
。
例4.求
的逆。
解：令
，则
。
五、初等变换法：
初等行变换：
或初等列变换：
例5.讨论
的逆。
解：
故：
。
六、利用矩阵的秩讨论可逆：
可逆
满秩
将化为上三角阵（阶梯阵）
例6.判定
是否可逆。
解：
，故
，满秩，
可逆。
以上给出的讨论矩阵逆的5种方法各有优劣，从例2、例5、例6看出，对同一矩阵可一题多解，希望广大同学在今后解题中灵活运用。
参考文献：
[1] 赵树嫄.线性代数[M].4版.2013.北京：中国人民大学出版社
[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].3版.2003.北京：高等教育出版社