现在的初中数学教材中引入了“概率”的内容。但目前在这方面的教学中还有一些模糊的认识。下面就以下几个问题谈谈一点看法。
随机事件概率论是研究随机现象的。随机现象是指：在条件相同的情况下，做重复试验，试验结果却不确定，以至于在试验之前无法预料出现哪一个结果。我们把这时的试验结果称为“随机事件”（通常把上述“条件相同情况下的重复试验”称为随机试验。但是，在初中引入这种概念的意义并不太大）。换句话说，随机事件是和重复试验紧密相连的，并非所有不确定的结果都是随机事件。
目前出现的有两种错误：
一、把目前尚不知道结论是否正确的命题当成了随机事件。例如，哥德巴赫猜想是否成立、火星上是否有生命等。显然，这些命题或结果没有任何随机性，它是完全确定的。只是人们至今尚未知道其结论而已。特别在数学中，凡是未被证明或否定的猜想都是这种命题，它们没有任何随机性，更不是随机事件。
二、 把和重复试验无关的不确定结果当成了随机事件。例如，本·拉丹是否还活着、小李是否生病了等等。
对上述两类问题，人们有时在言谈中也会谈到其发生的“可能性”。例如，人们会说“我看十有八九本·拉丹已经死了”、“我猜火星上有生命的可能性不到万分之一”等等。但这只是一种猜测，和重复试验无关。这样一种猜测我们称为“主观概率”。它反映的是人们主观的想法或愿望。其结论正确与否依赖于该人对所谈事物了解的程度、依赖于该人的经验和学识。研究主观概率并非没有意义。这种判断在人们的生活工作中确实大量存在，特别是在许多决策问题中。在这种猜测或判断中，经验起着重要的作用，但它和重复试验无关。一般来说，每个人的经验和看法并不相同，主观概率的大小因人而异。它不是概率论研究的内容（目前在统计中有一个强大的学派：贝叶斯学派，这一学派的理论是依赖主观概率的）。
老师在讲随机事件时，所举的例子一定要和重复试验紧密相连，强调相同条件下的试验（当然在现实生活中，条件不可能绝对相同）。
概率和频率在初中数学中，概率的概念是通过频率来介绍的。通常称为概率的“统计”定义。事实上，这种定义只是一种描述性的说法，并不严格。因此，我们一定不要去细究这种说法在用词上的含义（在现代数学中，“概率”是用公理化的方式给出的，超出了我们讨论的范围）。比如，我们说，当试验次数很多时，频率会“稳定”在一个常数附近。什么叫“稳定”就是含糊的，而且这个定义有“循环定义”之嫌。当我们说，如果试验次数很多，频率偏离这个常数大的可能性很小时，这里的“可能性”就是概率（类似的，在古典概率中的“等可能性”就是指概率相等，也是循环定义）。
事实上，概率的“统计”定义是概率论中贝努里大数律的文字描述，并非真正的定义。在概率论中，弱贝努里大
在大学学过实变函数论的老师们可以把弱大数律看成是频率依概率测度收敛到概率，把强大数律看成是频率几乎处处收敛到概率（之所以不能把这里的P看成是概率的定义。是因为在上述式子里已经出现了概率P）。
在这部分的教学中，一方面要让学生认识到频率会“稳定”在概率附近，另一方面，也要认识到随机性是本质的。有的老师总认为把一个均匀色子掷6次，就应该每个面都出现一次；把一个均匀硬币掷10次，就应该出现5次正面5次反面。事实上，把一个均匀硬币掷10次，“10次都是正面向上”发生的概率是 ，这个事件是完全可能发生的（平均来说，一万个人做这个试验，大概有9个人会得到这样的结果）。又比如，把一个均匀硬币掷100次，“100次中恰有50次正面向上”的概率是 ，这个值不大。因此，不能指望在课堂上做有限次的试验，使得出的频率一定靠近概率。认识到随机性是很重要的。在课堂上做试验时，有的老师总想让频率无限靠近概率，偏差大一些就觉得不好，甚至把这样得到的数据去掉。这都是不对的，是对随机性缺乏认识的结果。
在历史上，孟德尔在大量试验的基础上建立了基因学说。在他的试验中，几乎所有的试验结果，其频率和概率接近的都非常好。因此，被不少概率教材（例如我国一些高中教材）作为例子，用它们来说明频率的稳定性。但现代统计表明，如此“好”的结果几乎是不可能出现的。这些试验是不真实的，数据是假造的。因此，尽管孟德尔的基因学说是生物学中重要的成果，但有人猜测当初的试验数据是被某些人员篡改过的。
在这部分教学中要让学生对随机的特性有一个好的认识，不要造成偏差。
试验次数的确定我们希望在试验中看到频率很接近概率，即希望有
其中a是一个很小的正数，从而1-a接近于1。但是，在这里，当ε减少时，a会增大，从而1-a会减少。上述两个要求是相互矛盾的，无法同时满足，除非增加试验次数n。
那么在给定了ε和a后，如何确定试验次数n来同时满足我们的要求呢？比如，我们希望频率和概率的差ε=0.01，其发生的概率为1-a=0.95，试验次数n至少要多少呢？
由中心极限定理知， 近似服从标准正态分布。因此，当1-a等于0.90，0.95，0.99时，分别近似等于1.64，1.96，2.58。这表明，如果要求所发生的概率1-a不小于，例如0.95，那么 要不小于1.96。当ε给定后，我们可以算出试验次数n。
比如，在掷均匀硬币的试验中p=0.5，如果我们要求ε=0.01，1-a=0.95。则得到
由此解得n?叟9604，即在掷均匀硬币的试验中，要想以95%的概率保证频率和概率0.5的差不超过1%（频率在0.49与0.51之间），试验次数至少要超过九千六百次。
在掷一个均匀的色子试验中，上式中的p= 。如果我们仍然要求ε=0.01，1-a=0.95，不难求出所要求的试验次数n。
注意：这里是用正态分布做二项分布的近似计算，得到的是近似解。但这些结果可以帮助老师在教学中更好地把握频率和概率的关系。特别是在让学生用试验来探索概率时，老师们可以做到心中有数。
游戏的公平问题现在在初中概率的教学中出现了游戏或赌博的“公平”问题。这个问题最好不要在初中过多展开来讨论。因为什么是“公平”？我们并没有给出其确切的定义，对这个问题的讨论超出了初中的要求。
设想甲、乙两人赌博，甲胜、负和平局的概率分别是p、q、r（为简单起见，可假设r=0）。现在教材中一般是说，当甲胜（乙负）的概率和甲负（乙胜）的概率相等时，即p=q时，赌博是公平的。但这有一个前提：要求甲胜时赢得的钱数和甲输时赔付的钱数要相等。
比如，在掷一个均匀硬币时，我们规定“掷出正面”时甲胜、“掷出反面”时甲负。显然甲胜、负的概率相等。如果甲胜时，乙付给甲1元，甲负时，甲付给乙1元。人们会认为这赌博是“公平”的。但是，如果甲胜时，乙付给甲10元，甲负时，甲付给乙1元，那么这个赌博就不“公平”了。
为此，有的老师把“甲胜、负的概率相等”这个“公平”的定义，改为“甲、乙赢的平均钱数相等”，即甲、乙赢的平均钱数都为0（这里用的是数学期望的概念）。但这也是不妥的。设想这样一个游戏，甲赢得（即乙付出）10 -1元的概率为10 ，甲输（即乙赢得）1元的概率为1-10 。显然，对任意的正整数n，这个赌博中，甲、乙赢的平均钱数（即数学期望）相等，都为0。但很难说这游戏是“公平”的。比如，取n=6，此时，在每次赌博时，甲或者赢得10 -1元，即近百万元；或者输1元。但甲赢得近百万元的概率是如此之小，以至于几乎无法发生。因此，在赌博次数不多时，甲几乎只能是输钱。除非无限次地赌下去，否则对甲来说很难是“公平”的。
当然这样的游戏在现实中并非完全没有意义。设想乙方是保险公司。甲方每年付给乙方1元，当发生事故时，会得到10 -1元，尽管发生事故的概率10 很小，甲方还是愿意接受的。不过，这和我们讨论的游戏的“公平性”是两回事。
由于我们没有给出“公平”的标准，建议在教学中不要过分展开这方面的讨论。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。