[摘 要] 数学期望是随机变量的重要数字特征之一。文章本文通过探讨数学期望在决策、利润、委托代理关系、彩票等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中的应用。
[关键词] 随机变量 数学期望 经济应用
数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。
一、决策方案问题
决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。
1.风险方案
假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都在满负荷地工作着，为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为p，同时还有1-p的可能市场需求会下降。若将已知的相关数据列于下表:
由条件可知，在市场需求增加的情况下，使员工超时工作或添加设备都是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的期望大小。用期望值判断,有:
E(A1)=30(1-p)+34p,E(A2)=29(1-p)+42p,E(A3)=25(1-p)+44p。
事实上,若p=0.8,则E(A1)=33.2（万），E(A2)=39.4（万），E(A3)=40.2(万）,于是公司可以决定更新设备，扩大生产。若p=0.5，则E(A1)=32(万），E(A2)=35.5(万），E(A3)=34.5(万），此时公司可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长可能性在50%以上，公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。
2.投资方案
假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？
比较两种投资方案获利的期望大小：
购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。
3.面试方案
设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？
极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。
先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的期望值为:E1=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。
那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3×0.3+2.7×0.5=3.05万。
如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?
最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2.7万。期望值为:E2=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。
这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。
二、生产和销售利润问题
在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。
假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件产品，公司可获利m元，而积压一件产品，可导致损失n元，另外，该公司预测产品的销售量X为一个随机变量，其分布为p(χ)，那么，产品的产量该如何制定，才能获得最大利润。
假设该公司每年生产该产品χ件，尽管χ是确定的，但由于需求量(销售量)是一个随机变量，所以收益Ｙ是一个随机变量，它是Ｘ的函数：
于是期望收益为,问题转化为,当χ为何值时,期望收益可以达到最大值。运用微积分的知识,不难求得。
这个问题的解决,就是求目标函数期望的最大最小值。
三、委托—代理问题
在经济生活中，委托—代理是非常普遍的，例如老板和员工、股东和经理等等。老板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作,而员工则希望在拿到薪酬的同时尽量少工作。那么,应采取怎样的策略来确保两方面的平衡呢?我们可以用双方利润的数学期望来分析这一问题。
首先，如果不考虑外界因素的影响，老板的利润会随着员工的努力程度而增加；另一方面，如果员工的努力程度不变，老板的利润也会受到外界因素的影响，简单综合为运气好和运气差。假设这两方面的影响可概括如下：
由上表数据知，当利润为最小(10万)和最大(40万)时，老板可确定员工是否努力工作，在其他情况下无法确定，因此，员工可能会偷懒。另一方面，员工工作只是为了工资收入，努力工作会增加他的劳动成本，简单起见，记其努力工作的劳动成本为10万元，而不努力工作的劳动成本为0万元。因此，对于老板来说，最有利的结果当然是员工努力工作，这是因为老板的期望利润为:当员工努力工作时E1=20×0.5+40×0.5=30万;当员工不努力工作时E2=10×0.5+20×0.5=15万。那么，如何能保证员工能够努力工作呢？我们可以考虑不同的报酬形式:固定工资12万元;对员工的努力作出奖励。假设老板可制定报酬计划如下:若利润不超过20万，工资为0，若利润达到40万，工资为24万;分享利润。假设老板可制定报酬计划如下:当利润少于18万时，工资为0，当利润高于18万时，超过部分作为工资奖励给员工。
在这三种报酬形势下,我们分别考虑老板和员工双方的利益;
第一种情况:员工无论努力与否,工资均为12万,但若努力工作,会增加劳动成本10万元,因此员工一定选择不努力工作。对于老板而言,这种情况下得到的净利润只能为(10×0.5+20×0.5)-12=3万,而员工努力工作时净老板可获得的利润高达(20×0.5+40×0.5)-12=18万。因此，固定工资必然会导致效率低下，同时，期望利润也很低。
第二种情况:对员工而言,当努力工作时,期望工资收入为 万,减去劳动成本10万,净收入为2万。而如果不努力工作,工资只能为0。所以员工一定会选择努力工作。在这种情况下,老板的期望利润为(20-0)×0.5+(40-24)×0.5=18万，较之第一种情况大为增加。
第三种情况:对员工而言,当努力工作时,期望工资收入为(20-18)×0.5=1万，减去劳动成本10万，净收入为2万。
而如果不努力工作,期望工资收入为0×0.5+(20-18)×0.5=1万，没有劳动成本，净收入为1万。所以员工也会选择努力工作。在这种情况下，老板的期望利润总可以确保为18万，较之第一种情况也是非常有利的。
由此可知，在这种委托—代理关系中，引进一定的激励机制，委托人把自己的利益有效地融入代理人的利益之中，有利于解决双方的矛盾。
四、彩票问题
设每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到999999的每个数等可能出现），兑奖规则如下： 如果兑奖号与中奖号的最后一位相同者获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；兑奖号与中奖号的最后二位相同者获五等奖，奖金50元（中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获四等奖,奖金500元(中奖概率为0.001);兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）；兑奖号与中奖号的最后五位相同者获二等奖，奖金50000元(中奖概率为0.00001）;兑奖号与中奖号全部相同者获一等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。另外规定，只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的平均所得。
所以彩民的每张彩票的期望所得为:
那么，一个开奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖金形式返还给彩民，其余150万元则可用于福利事业及管理费用。因此，彩票中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出的，计算期望所得也是设计一种彩票的基础。
数学期望以及概率论中其他概念在经济生活中类似的应用问题还有很多很多，本文从中选取几点，起到抛砖引玉的作用。愿我们的广大学生和经济工作者，学好用好数学，让数学知识变得更加有用，更好的为祖国的经济建设服务。
参考文献:
[1]高鸿业:西方经济学[M].中国人民大学出版社,2006
[2]赵秀恒等:概率论与数理统计 [M].河北教育出版社,2006
[3]盛骤等:概率论与数理统计 [M].高等教育出版社,2003
[4]谢国瑞等:概率论与数理统计 [M].高等教育出版社,2002
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