摘 要：椭圆型偏微分方程及其反问题的研究具有重要的理论意义和实用价值，它广泛应用于地球物理学、心脏病学、无损探伤和离子物理学还有生物电场问题等领域，本文以椭圆型偏微分方程为背景，对其数值解法进行了研究。
关键词：椭圆型偏微分方程；反问题；数值解法
1 研究背景和意义
当偏微分方程的真解未知，或方程的部分系数、初边值条件及求解区域未知时，我们把这种问题称为偏微分方程反问题[1]。偏微分方程反问题产生于工业应用数学和计算数学，它广泛的存在于社会生活中的各个领域，如固体地球物理学、地球化学、同步辐射、激光雷达、图像/信号处理、金融经济、生命科学、遥感遥测、大气物理[2]、医学/计算机层析成像[3]等。
反演问题的典型特性是它的不适定性，如解未必存在，解未必唯一或解的连续性/稳定性（Continuation/Stability）不一定能够保证。近二十年来，反问题的研究得到了众多学者的关注，特别是八十年代中期，“Inverse Problems”杂志的创立，推动了这一研究方向的发展，使之成为各门学科及工业技术中的热门研究领域。陈难先等院士在香山第113次会议上指出了国内八十年代初期冯康先生[4]所倡导的反问题研究依据。再次推动了椭圆型方程反问题的研究，使之得到了迅速的发展。
2 研究现状和进展
椭圆型方程反问题的研究最早期是Hadamard在20世纪20年代研究线性偏微分方程Cauchy问题时提出的。苏联院士Tikhonov于20世纪40年代前率领他的研究小组对此问题的理论展开研究，最终在60年代提出了Tikhonov变分正则化方法，这种方法到目前为止仍然广泛使用。并于70年代出版了反演理论的经典专著《Solutions of Illposed Problems》。迭代正则化方法是关于反演理论和方法的另一个研究方向，近年来逐渐发展起来的方法有梯度型方法和Newton方法等。
我们国家最早是由中国科学院院士冯康先生[5]于20世纪80年代初期所倡导的偏微分方程参数反演问题的研究。之后，在相关的领域也展开了有关于椭圆型偏微分方程参数反演的理论和基本方法的研究。
3 偏微分方程反问题常用的数值解法
偏微分方程反问题的求解已经发展了各种方法，诸如脉冲谱技术（PST）、广义脉冲谱技术（GPST）、最佳摄动量法、蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）、各种优化方法和正则化方法等。其中，正则化方法是最具有普遍、适应性，在理论上最完备而且行之有效的方法。正则化方法是由著名学者Tikhonov以第一算子（特别是积分算子）方程为基础发展起来的。Y.M.Chen与他的课题组人员在近20年的时间内应用PST或GPST方法先后讨论了许多类型的偏微分方程反问题。广义GPST是一种数值迭代方法。计算结果表明对离散后的待定未知量较少（<100）的情况，迭代收敛速度比最优化方法快的多。通常情况下我们将不同的偏微分方程反问题转化为各种非线性最优化问题求解，正则化方法是一种数值迭代方法，将非线性最优化方法和广义脉冲谱技术各自优点有机结合而形成的。通常情况将正则化方法和遗传算法相结合巧妙的应用于二维椭圆型偏微分方程反问题的数值求解中，这为解决工程实际问题中的反问题提供了一种很好的途经。
参考文献：
[1]Lavrent’ev MM，Romanov VG and Shishatski SP，1986， IllPosed Problems of Mathematical Physics and Analysis（Translations of Mathematical Monographs vol 64）[J].Providence，RI：American Mathematical Society.
[2]蘇超伟，偏微分方程逆问题的数值解法及其应用[M].西安：西北工业大学出版社，1995：99103.
[3]姚姚.非线性反演方法及其在地质勘探中的应用[D]. 应用地球物理学进展，中国地质大学出版社，1996.
[4]郜吉东，丑纪范.数值天气预报中的两类反问题及一种数值解法——理想试验[J].气象学报，1994，52（2）：129137.
[5]R.Gorenflo，Funktionen theoretische Bestimmung des Aussenfeldes zueiner zwei dimensionalen magnetohydrostatischen Konfiguration，Z.Angew.Math.Phys，1965，16，279290.
[6]王耀威.博士学位论文：图像和视屏检索技术中的若干问题研究[D].中国科学院研究生院，2005.
作者简介：庞娜（1987），女，汉族，宁夏人，硕士，助教，研究方向：科学工程与计算。