摘要： 文章用有限差分法对Fisher分数阶微分方程进行近似和求解，对所建立的差分格式进行了合理的收敛性和稳定性分析，最后通过数值算例得到了方程的数值解表达式，并验证了数值解与精确解高度拟合，进而证明了该差分格式的可行性。
Abstract： This paper approximated the Fisher fractional differential equations and solved it with finite difference method. Then the paper reasonably analyzed the convergence and stability of the differential format which built by the above numerical solution. Finally， by calculating a numerical example and analyzing its error， this paper verified a great similarity between the equation"s exact solution and numerical solution. And then it proved the feasibility of the differential scheme.
关键词： 分数阶微分方程；数值解；精确解；稳定性
Key words： fractional differential equations；numerical solution；exact solution；stability
中图分类号：O241.8 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）05-0315-03
0 引言
分数阶微分概念由数学家Leibniz和L’Hopital于1965年首次提出[1]，然而在其后近一个世纪，分数阶微积分的发展几近停滞，仅有Euler在1739年在一篇文章中对分数阶导数的定义进行了简单的讨论。分数阶微积分开始呈现明显的发展，是在19世纪初期，计算问题在很长时间内都是一个棘手的障碍，目前存在的方法主要有同伦分析法，变分迭代法，Adomian分解法，线性多步法等[2]。
4 结论
文章用有限差分法求解了一类分数阶Fisher方程，并得到了该方程数值解的表达式。最后通过数值算例求出了？琢=1的情况下的数值解，借助MATLAB软件画出了其数值解和精确解的图像，从图像可以看出数值解与精确解高度拟合。从误差表可以明显地看出，在初值条件和边界条件允许的取值范围内，差分方法给出的数值解是可行的。且在空间步长和时间步长取定其它正常值时，都可得到类似精确度的计算结果，误差的数量级非常小，这就验证了数值解法的有效性。
参考文献：
[1]Leibniz G W. Leibniz an del ’Hospital In Deuvres Mathematiques de Leibniz. Correspondance de Leibniz avec Hugens， van Zulichem et le Marquis de L’Hospital[M]. Pair：Libr.de A.Franck，1853.
[2]刘建军.求解分数阶微分方程问题的几类数值方法[D].湘潭大学，2007.
[3]LIU Yanqin. Solution of fractional population diffusion model[J]. Computer Engineering and Applications， 2012，48（24）：7-9.
[4]Mark M. Meerschaert， Charles Tadjeran. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations. Applied Numerical Mathematics， 2005，56（1）：80-90.
[5]Q. Yang， F. Liu ，I. Turner. Numerical methods for fractional partial differential equations with Riesz space fractional derivatives[J]. Applied Mathematical Modeling， 2010.
[6]程媛媛，蒋威.分数阶时滞单种群模型的稳定性[J].佳木斯大学学报（自然科学版），2012，39（3）：468-469.
[7]S. Momani，K. Al-Khaled. Numerical solutions for systems of fractional differential equations by the decomposition method[J]. Applied Mathematics and Computa-tion，2005.
[8]Juan J. Nieto，Rosana Rodriguez Lopez. Existence and Uniqueness of Fixed Point in Partially Ordered Sets and Applications to Ordinary Differential Equations[J]. Acta Mathematica Sinica， English Series，2007（12）.