摘要：拉普拉斯方程描述了弯曲液面的附加压力与液体的表面张力及曲率半径的关系。本文从表面张力、表面能及热力学基本公式出发，应用物理学和数学原理，探讨拉普拉斯公式的几种推导方法及其意义，旨在教学实际中适当的引用，加深学生对液体表面现象的认识和理解。
关键词：表面张力；表面自由能；弯曲液面；拉普拉斯方程
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0097-02
拉普拉斯方程给出了弯曲液面的附加压力与表面张力和曲率半径之间的关系，公式形式很简单，但推导方法各异，本文从表面张力、表面能及热力学基本公式出发，应用物理学和数学原理总结分析拉普拉斯方程常用的几种推导方法，并突出其中的物理化学的基本概念及意义，作为教师，向学生推荐各种推导方法，并进行比较，把学生的注意力引导到对基本概念的再认识上，可获得事半功倍的效果。
1？摇从表面能概念出发，应用几何知识及热力学方法推导
1.1？摇以任意弯曲液面为研究对象[1]
如图2所示[1]，在任意弯曲液面上取一小矩形曲ABCD，其面积为xy。曲面边缘AB和BC弧的曲率半径分别为R1和R2，作曲面的两个相互垂直的正截面，交线Oz为O点的法线，令曲面沿法线方向移动dz，使曲面扩大到A′B′C′D′，则x与y各增加dx和dy。移动后曲面面积增加dA=xdy+ydx；体积增加dV=xydz。增加dA面积所作的功与克服附加压力ps增加dV所作的功应该相等，即：γdA=psdV
γ（xdy+ydx）=ps xydz？摇？摇？摇（1）
由相似三角形原理：（x+dx）/（R1+dz）=x/R1′简化得dx=xdz/R1′？摇？摇？摇（2）
（y+dy）/（R2+dz）=y/R2′简化得dy=ydz/R2′？摇？摇？摇（3）
将（2）及（3）式代入（1）式得：ps=Δp=γ[（1/R1）+（1/ R2）]？摇（4）
（4）式称为杨-拉普拉斯公式（young-Laplace equation），是研究弯曲表面上附加压力的基本公式。
如果是球面R1′=R2′=R′，则ps=Δp=2γ/R′。
该方法以任意曲面为研究对象，应用几何知识和表面能的概念进行推导具有普遍意义，但是物理化学意义并不明确，在物理化学教学中只需简单介绍。
1.2？摇以球形液滴为研究对象[1，4]
如图3所示，设有一毛细管，管内充满液体，管端有半径为R的球形液滴与之平衡（忽略重力对液滴的作用），外压为p0，附加压力为ps液滴所承受的压力为p=p0+ps。设在恒温恒压下，可逆的对活塞施加压力，使液滴体积增加dV，其表面积相应增加dA，则在此过程中以液滴为系统，推动活塞对液滴所作的体积功为：δw1=p外dV=（p0+ps）dV，同时液滴膨胀对环境所作的体积功为：δw2=-p0dV；推动活塞对液滴所作的净功为：δw′=psdV。由热力学基本关系式dG=-SdT+Vdp+γdA（对纯物质或组成不变系统，考虑表面能量的变化），得：在恒温恒压可逆条件下，dG=δw′即克服附加压力ps环境所作的功与可逆增加表面积的吉布斯函数增加值应该相等：PsdV=γdA（dV=4πR3dR，dA=γ8πRdR），即Ps=Δp=2γ/R
该方法物理化学意义非常显著，首先确定小液滴为系统，描述热力学问题离不开系统与环境的概念；应用“可逆”的概念强调环境的压力与系统的压力只相差无穷小，从而有p外dV=（p0+ps）dV的结果；根据热力学原理和热力学基本关系式dG=-SdT+Vdp+γdA，在恒温恒压可逆条件下，该过程所做的最大有效功即为该过程系统的吉布斯函数增加值，自然得到所需要的结果。在整个推导过程中突出热力学基本原理、基本概念和基本公式在表面化学中的应用，加深了学生对热力学原理的理解，并增强学生应用热力学原理分析和解决问题的能力。
2？摇从表面张力的概念出发应用物理学的方法进行推导[2，3]
2.1？摇以凸形液面为研究对象[3]
设有一凸液面AB，如图4所示，其球心为O，球半径为r，球缺底面圆心为O1，底面半径为r1，液体表面张力为γ。
将球缺底面圆周上与圆周垂直的表面张力分为水平分力与垂直分力，水平分力相互平衡，垂直分力指向液体内部，其单位周长的垂直分力为γcosα。因球缺底面圆周长为2πr1，得垂直分力在圆周上的合力为：F=2πr1γcosα.因cosα=r1/r，球缺底面面积为πr12，故弯曲液面对于单位水平面上的附加压力为：Δp=（2πr1γr1/R）/πr12，整理后得：Δp=2γ/r
2.2以球形液滴为研究对象[2]
假设有一半径为r的圆球形液滴，通过球的中心画一截面，如图5所示，沿着截面周界线两边的液面对周界线皆有表面张力的作用。图中只画出了周界线下得液面对周界线的作用。以下半球为系统，则沿截面周界线上表面张力的合力F，就等于垂直作用于截面上的力，所以F=2πrγ，即为附加压力：Δp=F/（πr）=2πrγ/（πr2）=2γ/r
以上方法是从表面张力的概念出发，对球缺周界线以下的液面对周界线的作用进行受力分析，如果只从获得附加压力与表面张力及曲率半径的关系出发，该方法简单且易于理解。
关于拉普拉斯公式的推导还有一些其他方法[6，7]。尽管方法各异，但都是从表面张力和表面能两个角度入手，并引入下面相同的基本假设完成推导过程：（1）将表面层理想化为一个简单的几何曲面；（2）假设表面层两侧的液相和气相都是均匀的；（3）忽略由液体重力产生的附加压强。
参考文献：
[1]傅献彩，等.物理化学（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]天津大学物理化学教研室.物理化学（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.
[3]肖衍繁，李文斌.物理化学[M].天津：天津大学出版社，2004.
[4]沈钟，赵振国，王国庭.胶体与表面化学[M].北京：化学工业出版社，2004.
[5]叶松.关于弯曲液面下由液体重力产生的附加压强的讨论[J].巢湖学院学报，2003，5（3）.
[6]张永胜.拉普拉斯公式的另一种推导方法[J].淮北煤师院学报，2000，21（2）.
[7]李亦宁.弯曲液面下附加压强值的几种推导方法[J].广西物理，2004.25（1）.