摘 要：生产管理要求合理使用有限的人力、物力和财力，以获得最佳的经济效益。本文首先建立了这一问题及其对偶问题的线性规划模型，结合算例给出了其最优解（即最佳生产方案）的求法，在此基础上，借助影子价格和敏感性分析对生产过程中的管理决策进行了解析和讨论。本文提供的模型和解法具有一般性，且易于用软件实现。
关键词：线性规划；最优解；影子价格；敏感性分析
线性规划作为运筹学（Operations Research）的一个最基本的分支，已成为现代管理科学研究的重要工具之一［1，2］。自從1947年美国学者G. B. Dantzig首次提出求解线性规划问题的单纯形法（simplex method）以来，线性规划在理论上已经十分成熟。随着计算机硬件性能的提高和软件技术的发展，线性规划问题的求解已变得极为容易和迅速，这极大地促进了线性规划在管理科学中的应用。
在管理科学的理论研究和实践应用中，特别是在生产经营管理中，经常遇到如何利用有限的资源来获得最佳效果的问题。比如，企业应该如何合理使用有限的人力、物力和财力，以使经济效益达到最大化。
1. 问题的提出
某工厂计划利用M种资源A\-1,A\-2,…,A\-m生产n种产品B\-1,B\-2,…,B\-N。资源A\-1的供应量为b\-i，i=1,2,…,m；产品B\-J的单位售价为c\-j，j=1,2,…,n；生产单位产品B\-j所需消耗资源A\-i的数量为a\-ij，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。
问：（1）该厂应如何安排生产计划，才能使得收益最大？（2）今有一公司欲购买该工厂现有的全部资源，问该工厂应如何确定这种资源的价格，才能使得双方都能接受？
2. 模型的建立
问题（1）：引入决策变量：设该工厂生产产品B\-j的数量为x\-j，j=1,2,…,n。
则可建立如下线性规划模型
问题（2）：引入决策变量：设该工厂将资源A\-i的价格定为y\-i，y=1,2,…,m，则此公司自然希望以尽可能小的花费购进这种m资源；而该工厂亦要求将生产单位产品B\-j所消耗的这种资源m直接售出所得的收益应不小于产品的单价（即利用同等数量的资源生产单位产品后，再出售产品所得的收益）。如此，即可使得买卖双方都能接受。于是，可建立线性规划模型
3. 模型的求解
(P)和(D)均为线性规划问题，已有单纯形法可用赖求解，也可用Lingo、Matlab等软件［3，4，5］来求解，将在下面的算例中加以说明，此处从略。
4. 模型的分析
显然，(P)与(D)互为对偶问题.设利用单纯形法求解(P)最终得最优基B，最优解为x=(x\-1,x\-2,…,x\-m)T。
于是，(P)的影子价格为y=(ct\-BB-1)T≡(y\-1,y\-2,…,y\-m)T。当然，y也是(D)的最优解。
由强对偶定理知，(P)的最优值为Z=cTx=bTy=∑m[]i=1[DD)]b\-iy\-i。（*）
（1）显然，若资源A\-i的供应量B\-i增加1个单位，则最大收益将增加y\-i；而且，y\-i越大的资源A\-i增加1个单位，最大收益就增加得越多。
由此，y\-i是最优生产方案下的一种实际存在但又看不见的真实价值，故被称为资源A\-i的影子价格；同时，影子价格是资源的单位改变对最大收益产生的影响,故又被称为资源的边际收益。影子价格是针对具体生产而言的.同一种资源在不同的生产条件下可能有不同的影子价格；产品的市场价格发生变化时，资源的影子价格也会发生变化；资源的数量结构不同，其影子价格也不同。
(2)影子价格能定量地反映资源的利用程度。
A.由松弛互补定理知，若∑n[]j=1[DD)]a\-ijx\-j＜b\-i，即b\-i-∑n[]j=1[DD)]a\-ijx\-j＞0，则。即当资源A\-i没有被充分利用时，其影子价格为0。此时，由（*）知，即使增加资源A\-i的供应量b\-i，最大收益也不会增加。
B.由松弛互补定理知，若y\-i，则∑n[]j=1[DD)]a\-ijx\-j=b\-i。即当资源A\-i的影子价格不为0时，A\-i已被充分利用。此时，由（*）知，增加资源A\-i的供应量b\-i，最大收益将会增加。
（3）影子价格能指导企业在生产过程中去节约资源［6］。
若采用新工艺后，生产单位产品B\-j对资源A\-i的消耗量a\-ij被节约a%，j=1,2,…,n，则(P)中的第i个约束条件变为
∑n[]j=1[DD)](1-a%)a\-ijx\-j≤b\-i→∑n[]j=1[DD)]a\-ijx\-j=b\-i。即资源A\-i的节约“相当于”A\-i的供应量b\-i增加了\S]1[]1-a%\s-1=\S]a%[]1-a%\s=\S]a[]100-a\s%。当时y\-i＞0，由（*）知，最大收益将会增加\S]a[]100-a\s%b\-i•y\-i。
由此，企业在生产过程中应注意对影子价格高且消耗量大的资源的节约。
（4）影子价格对企业的经营管理而言是一种十分有价值的信息资源，它可作为企业出售或购进资源的一种客观的定价标准，对企业进入市场有十分重要的参考意义［6］。
A.若资源A\-i的市场价格u\-i大于其影子价格y\-i,i=1,2,…,m，则该工厂出售资源的收益∑m[]i=1[DD)]b\-iu\-i＞∑m[]i=1[DD)]b\-iy\-i=∑n[]j=1[DD)]c\-jx\-j=z（利用资源生产产品，再出售产品的最大收益）。故该工厂应出售资源，而不应进行生产。
B.若资源A\-i的市场价格u\-i小于其影子价格y\-i,i=1,2,…,m，则该工厂出售资源的收益∑m[]i=1[DD)]b\-iu\-i＜∑m[]i=1[DD)]b\-iy\-i=∑n[]j=1[DD)]c\-jx\-j=z（利用资源生产产品，再出售产品的最大收益）。故该工厂不应出售资源，而应进行生产。
（5）敏感性分析：讨论系数或常数的变化所引起的最优解的变化，即系数或常数在多大的范围内变化时，最优解不变；否则，应如何求得新的最优解。
因此，当资源的供应量或产品的市场价格发生变化时，敏感性分析显得有为必要和成功（见算例）。
5. 算例
设有如下生产管理问题：m=3,n=2；c\-1=2,c\-2=3；b\-1=8，b\-2=16，b\-3=12；a\-ij由矩阵1 24 00 4给出。
如前述分析，可建模如下
利用Lingo软件来解。
程序：
［profit］max=2*x1+3*x2;
［A］x1+2*x2<=8;
［B］4*x1<=16;
［C］4*x2<=12;
结果：
（1）解的报告
Global optimal solution found.
Objective value:14.00000
Total solver iterations: 1
VariableValueReduced Cost
X14.0000000.000000
X2 2.0000000.000000
RowSlack or SurplusDual Price
PROFIT14.000001.000000
A0.0000001.500000
B0.0000000.1250000
C4.0000000.000000
報告表明：最佳生产方案为：产品的产量分别为4和2，最大收益为14；资源的影子价格为1.5，这表明的供应量已被用尽，若将其供应量增加1，则最大利润将增加1.5；资源的影子价格为0，这表明的供应量还剩余4，即使再增加其供应量，也不会使最大收益增加。
（2）敏感性分析
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X12.000000INFINITY0.5000000
X23.0000001.0000003.000000
Righthand Side Ranges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
A8.0000002.0000004.000000
B16.0000016.000008.000000
C12.00000INFINITY4.000000
报告表明：当产品B\-1的价格在（2-0.5,2+INFINITY）=（1.5,+∞）内变化时，最优生产方案不变；当资源A\-3的供应量在（12-4,12+INFINITY）=（8,+∞）内变化时，最优生产方案不变。
6. 结束语
我们利用线性规划方法建立了生产管理问题的模型，给出了其最优解的算法，并对生产过程中的管理决策进行了解析和讨论。我们的模型和解法很容易推广到其它形式的经济管理问题上去。
参考文献：
［1］韩伯棠.管理运筹学（第2版）.北京：高等教育出版社，2005年。
［2］刘顺忠.管理运筹学和MATLAB软件应用.武汉：武汉大学出版社，2007年。
［3］黄雍检，赖明勇.MATLAB语言在运筹学中的应用.长沙：湖南大学出版社，2005年。
［4］谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2005年。
［5］袁新生，邵大宏，郁时炼.LINGO和EXCEL在数学建模中的应用.北京：科学出版社，2007年。
［6］张建中，许绍吉.线性规划.北京：科学出版社，1999年。
（作者通讯地址：山东财政学院山东 济南250014）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。