摘要：针对《材料力学》中一类求杆系结构节点位移的问题，提出了一种基于解析几何的解法，该方法只需具有解析几何的基本知识，求解圆的交点坐标，就可以顺利完成解题过程。与教材中的“以切代弧”的解法相比，具有易于理解、求解简单的优点。本文解法在一定程度上丰富了解题方法，具有一定的参考价值。
关键词：材料力学；轴向拉压；节点位移
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）37-0080-02
在《材料力学》、《工程力学》课程中，当学习了杆件轴向拉伸和压缩后，需要应用杆件轴向拉伸或压缩的纵向变形量，求解杆系结构节点位移。这一类问题的典型例题如《工程力学教程》（第2版，西南交通大学应用力学与工程系编）第135页，例题7-8。但在教学中，有许多学生反映教材上所采用在建立节点位移和杆件变形量间的几何关系时，有时并不直观，因此无法顺利完成解答过程。为此，笔者提出基于解析几何的方法，求解该类问题。
一、教材例题及解法
例题1：如图1所示，铰接杆系由两根钢杆1和2组成；各杆长度均为l=2m，直径均为d=25mm；已知变形前∠BAD=∠CAD=α=30°，荷载F=100kN，钢的弹性模量E=2.1×105MPa；求节点A的位移ΔA。
教材解法的总体思路是“以切代弧”。很多学生学完后反映，在解对称结构时（如例题），建立节点位移和杆件变形之间的联系比较容易，但是遇到不对称的结构时（如图2），就不那么直观了，求解比较烦琐。
二、基于解析几何的节点位移解法
本文以例题1为例，给出一种基于解析几何的求解方法。具体求解过程如下：第一步，设杆1、2的轴力分别为F■、F■，以节点A为研究对象，列平衡方程可求得：F■=F■=■=57.726kN。第二步，由各杆轴力计算各杆的伸长量，Δl■=Δl■=■=1.12mm，以上两步和教材是一样的。第三步，杆件伸长后，节点A仍然铰接在一起。因此，节点A的新位置是以点B为圆心，半径为R=l■+Δl■的圆，和点C为圆心，半径为R=l■+Δl■的圆的交点（图3中的点A■）。
如图3所示，以点A为原点，x轴水平向右为正，y轴竖直向上为正，建立直角坐标系。
则点A坐标为（0，0）；点B坐标为（-1，1732051）；点C坐标为（1，1732051）。上述两个圆的交点通过解下列方程组求得：
（x+1）■+（y-1.732051）■=2.00112■（x-1）■+（y-1.732051）■=2.00112■
可知，x=0；y=±1.733344+1.732051。显然取y=-0.001293，即A■的坐标为（0，-0.001293），与点A坐标相比，发生了沿y轴向下的位移，大小为1.293mm，与教材解得的结果一致。
三、讨论
与教材的解法相比，本文提出的方法具有两个优点：第一，便于理解，无需“以切代弧”，也不需要寻找杆件变形量和节点位移间的联系（而这往往是教材方法的难点），取而代之的是求解圆的交点，即解方程组的问题，只需要有高中解析几何的知识即可理解和掌握，而且对于对称或不对称结构解法是完全相同的。第二，本文方法中，求解圆交点的方程组求解比较复杂，但是可以编写计算机程序来实现计算。学习《材料力学》或《工程力学》的是大二年级的学生，他们都已经学习了程序设计，可以胜任这一工作，而且利用计算机求解问题，也是一种趋势。本文提出的方法便于理解，无需“以切代弧”，也不需要寻找杆件变形量和节点位移间的联系，只需求解圆的交点，即解方程组的问题，而且对于对称或不对称结构解法是完全相同的。
参考文献：
[1]西南交通大学应用力学与工程系.工程力学教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]孙训方.材料力学[M].第4版.北京：高等教育出版社，2002.
基金项目：2011年三峡大学教研项目《水利工程特色的材料力学课件编制》（J2011045）。