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摘 要 数学文化作为中小学生必备的数学素养，能够促进学生数学思想、兴趣、方法、习惯的养成与发展。在新的高考形式下，对学生“数学文化”素养的考查给予了更多的关注。本文以2019年全国卷为例，从数学核心素养的角度出发，对高考数学文化试题的考查进行分析，思考数学文化渗透于课程教学中的重要性与必要性，并给出的教学建议。
关键词 数学文化 数学核心素养 高考数学
数学文化是指与数学相关的教育、历史、艺术、人文科学以及各种文化之间的联系[1]。它作为中小学生必备的数学素养，关系着学生数学思想、兴趣、方法、习惯的养成与发展，在新版普通高中数学课程标准当中已经将其列为了教学目标[2]，并且在2017年高考数学考试大纲增加了对“数学文化”的考察，这使得数学文化素养对学生而言愈加重要。本文以2019年高考全国卷试题为例，结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的包含六个方面的数学核心素养及其水平等级的划分[3]，对数学文化试题的核心素养考查范围及难度进行分析与整理，为数学文化素养的培养提供指导与帮助。
一、高考数学关于文化的试题统计与分析
在2019年的6套全国数学试卷中，选择与数学文化相关的试题，共6题，其中渗透了5个数学文化知识、故事，试题具体蕴含的数学文化背景、所考查的知识点和涉及的数学核心素养见表1。
二、高考数学关于文化的试题呈现与分析
1.基于古希腊黄金分割文化背景的高考试题
（1）原题转述
（全国Ⅰ卷理/文4）根据古希腊时期人们对黄金分割的两种计算形式：人体头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比和人体的头顶到咽喉的长度与咽喉到肚脐的长度之比均为（约等于0.618）。结合著名的“断臂维纳斯”雕像的实例，创设某人满足以上两个比例时求出其身高。（该人头顶到脖子下端长26cm，腿长105cm）
A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm
（2）选题立意与目的及核心素养的考查水平分析
选题的文化背景简介：此题涉及了两个数学文化背景：第一个，黄金分割。黄金分割是指按照比值约为0.618的比例将某整体分为两部分，在美学上认为按照此比例划分的物体是最具美感的，因此称为黄金分割[4]。第二个，维纳斯雕像。“断臂维纳斯”是古希腊著名的雕刻家阿历山德罗斯在公元前150年左右根据黄金分割比例打造的大理石雕塑，虽然雕塑不完整，但仍然给人一种完美感。
选题立意与目的：通过黄金分割的介绍及具体举例，增加学生对黄金分割数学文化的了解，并将黄金分割引入具体的应用中，考查学生数学建模与数学运算的能力。
情境任务：利用黄金分割解决问题。
数学核心素养及水平：数学建模水平二：能够确定参数，将情境问题转化为数学模型并求解。数学运算水平一：掌握算法和应用范围并正确运算。
解题分析：在解题之初，通过数学建模水平二的能力明确题中的问题及数据，转化情境中的问题为数学模型。将头顶至脖子下端近似看作是头顶至咽喉的长度为26cm（实际略短），进而确定参数：将腿长近似看作肚脐至足底的长度设为xcm，设咽喉至肚脐的长度为ycm，接着建立适当的数学模型：=0.618，=0.618，最后根据数学运算水平一的能力正确进行运算求出结果得此人身高约178cm（实际略矮），故选B。此题在求解过程中，数学建模素养水平要求较高，能否根据现实问题正确转化为数学问题并建立模型至关重要，其所需素养达到高考水平二的要求;而在正确转化问题并建立数学模型之后，只需要基本的数学运算素养即可解决问题，即只需水平一的数学运算素养即可，此题为中等难度。
2.基于《周易》卦象文化背景的高考试题
（1）原题转述
（全国Ⅰ卷理/文6）《周易》中的每一卦象从下到上由6个爻位组成，而每个爻位为阴爻“——”或阳爻“- -”，如图1所示是一重卦，求解随机选取一个重卦中恰好有3個阳爻的概率。
（2）选题立意与目的及核心素养考查水平分析
选题的文化背景简介：《周易》卦象。在周易卦象中，每一挂由六个爻位组成，每个爻位可以是阴爻或阳爻，六个爻位上的阴爻或阳爻按照特定的顺序排列可以组成不同的卦象。
选题立意与目的：通过对《周易》卦象组成的简单介绍，考查学生对组合及概率知识的掌握情况。
情境任务：利用组合与概率的知识解决问题。
数学核心素养及水平：数据分析水平二：能够使用适当的统计或概率模型解决问题。数学运算水平一：掌握算法和应用范围并正确运算。
3.基于嫦娥奔月与牛郎织女鹊桥相会文化背景的高考试题
（1）原题转述
（全国Ⅱ卷理4）此题以嫦娥奔月为引子，引出我国实现月球背面软着陆的梦想，其中技术突破的关键在于“鹊桥”的中介通讯，类似于牛郎织女相会的桥梁。求r的近似值。公式及变量间的关系：
（2）选题立意与目的及核心素养考查水平分析
选题的文化背景简介：第一，嫦娥奔月。中国流传的神话传说嫦娥奔月，源自古人对星辰的崇拜，据现存文字记载最早出现于战国时[5]。故事讲述了嫦娥被逢蒙所逼迫，吃掉了西王母赐给后羿的不死仙丹之后飞升到月宫之中。第二，牛郎织女鹊桥相会。中国民间传说仙女织女偷偷与凡人牛郎相爱并结为夫妻，被天庭发现后惩罚他们分开，只能在每年阴历七月初七的晚上，通过喜鹊在银河上搭桥，才能得以相会[6]。鹊桥相会的故事歌颂了中国劳动人民坚贞的爱情，以及对追求美好生活的强烈愿望。
选题立意与目的：自古人们就对星辰无比崇拜，各种奇思妙想的“飞天”“升天”的梦想不曾断绝，题中通过“嫦娥奔月”的文化历史背景，引出我国探月工程取得了重大成就;再通过“牛郎织女鹊桥相会”的故事点出“鹊桥”是工程中重大难题的突破点。因这些故事在民间家喻户晓，故题意易于理解。
情境任务：利用题中所给信息（公式）解决问题。
数学核心素养及水平：数学运算水平二：能选择恰当的方法和运算程序解答问题。数学运算水平三：具备程序化思想，并依此理解和表达的问题，最后进行正确运算。
4.基于独孤信的“半正多面体”印信文化背景的高考试题
（1）原题转述
（全国Ⅱ卷理/文16）此题以南北朝官员独孤信的半正多面体印信为背景，构建图2（2）所示棱长为1的半正多面体模型，其棱数为48，并且每个顶点都在同个正方体的表面上，求其面数与棱长。
（2）选题立意与目的及核心素养考查水平分析
选题的文化背景简介：根据相关记载，独孤信是西魏大统六年陇右十一州大都督，身兼多职。为将，奋战沙场、英勇杀敌;为官，两袖清风、铁面无私，是忠义为先、取信于民的好官。他的印信是26面体的煤精印，其中有14个印面镌刻阴文楷书印文，每个面的印文都不相同，可根据不同的场合使用不同的印面[7]。
选题立意与目的：通过对我国金石文化典故，南北朝时期官员独孤信的半正多面体印信的介绍，弘扬独孤信忠义为先、取信于民的精神与美德，并从数学审美的角度赏析印信，凸显该印信的对称美。
情境任务：考查学生直观想象与数学建模的能力，通过直观想象与数学建模构建印信的数学模型，从而得出印信面数及棱长的计算方法。
数学核心素养及水平：数学建模水平二：能够确定参数，将情境问题转化为数学数学模型并求解。直观想象水平二：运用直观想象的能力及数形结合的思想正确解决问题。数学运算水平二：能选择恰当的方法和运算程序解答问题。
求面数较为简单，解答时可通过数学建模与直观想象的水平一，构建出印信的数学模型，即可数出印信的面数为26面。接着再根据数学建模与直观想象的水平二，将构建的数学模型放入半径为1的正方体中（见图3）。
5.基于四大名著文化背景的高考试题
（1）原题转述
（全国Ⅲ卷理3/文4）以四大名著为文化背景，构建经典的概率统计试题。从学校中选取100名学生作为调查对象，读过《红楼梦》或《西游记》的有90人，读过《红楼梦》的有80人，同时读過《红楼梦》和《西游记》的有60人，求该校阅读过《西游记》的学生人数占总学生数的比值。
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
（2）选题立意与目的及核心素养考查水平分析
选题的文化背景简介：《水浒传》《三国演义》《西游记》和《红楼梦》是中国的四大经典名著，也是世界宝贵的文化遗产。这四部文化巨著都有着极高的文学水平和艺术成就，每部名著所蕴含的深刻思想和对人物、故事、场景刻画的细致都深深地影响了我国人民的思想观念和价值取向。
选题立意与目的：通过创设某校四大名著借阅情况的情境，弘扬我国四大名著宝贵文化财富的同时，考查学生解决现实生活情境问题的能力。
情境任务：从以名著文化为背景的情境中抽象出相关的数学问题，运用恰当的逻辑推理以及数学语言表达并正确求解问题。
数学核心素养及水平：数学抽象水平二：运用恰当的方法从情境中抽象出数学问题并正确解决问题。逻辑推理水平二：用数学语言表达出从情境发现并提出数学问题，并用恰当的方法进行计算或证明。数学运算水平一：掌握算法和应用范围并正确运算。
解题分析：此题要求学生具备数学抽象和逻辑推理的水平二，用数学语言提取、表达情境问题。根据读过《红楼梦》的人数和读过《红楼梦》或《西游记》的人数可知，有10人只读过《西游记》。再结合同时读过《红楼梦》和《西游记》的人数，可知有70人只读过《西游记》人。再根据逻辑推理水平一：归纳推理、类比推理等。可得最后比值为0.7，C选项正确。此题考查较为简单，学生的数学抽象和逻辑推理核心素养达到水平二之后即可简单求解。
三、结论与建议
1.高考数学文化试题分析的结论
（1）数学文化试题难度适中
高考数学文化试题中数学核心素养的考查水平适中、恰当，符合数学文化试题的立意与目的，绝大多数难度水平控制在核心素养高考要求的水平二，部分试题控制在水平一的要求。虽然试题难度不大，但也不能易轻松解出，学生受传统思维定势的影响，往往难以找寻到解题思路。如果学生在日常的教育课程中积累了相应的数学文化知识，对其内容或来龙去脉有所了解，那么在学生接触到相应数学文化的试题时，便可在一定程度上“熟悉试题”，从而快速得出解题思路与结果。
（2）数学文化与核心素养相得益彰
高考数学文化试题的考查涵盖了数学核心素养的六个方面，每道题的求解大多涉及两种及以上的数学核心素养，并且均以数学运算素养为基础。达到了宣扬数学史实与文化，弘扬优秀文化传统、精神文明与美德，拓宽学生的知识面，提高学生的学习兴趣，传承优秀文明的目的的同时，又达到了考核学生知识掌握情况和检验学生数学核心素养所达水平的目的。数学文化与核心素养相互促进，在考试中二者结合相得益彰。对此，我们必须重视在教学中数学文化的渗透和核心素养的培养，在调动学生学习的积极性、拓展学生的知识层面、加强数学知识与其他学科或历史事实相联系的同时，锻炼学生的数学思维，加深学生对数学思想方法的领悟[8]，帮助学生建立健全的知识体系。
2.数学文化渗透到课程教学中的建议
（1）注重情境教学，渗透数学文化
数学文化在教材中多以小故事的形式存在，也有与其他学科相关的文化知识，从学生身心发展的特点出发，与课堂讨论或课后阅读相比，以讲故事的形式进行数学文化渗透无疑是最好的选择。而渗透时机的选择在课前、课堂中或课堂结尾均可，其灵活性较强。课前可作为情境导入的内容进行渗透，从而激发学生的学习兴趣，促进学生专心致志地学习新知识;课堂中渗透，用作对某个数学概念或公式深化，帮助学生更深刻的理解概念或公式;渗透于课堂结尾，可在一定程度上有助于课堂小结，强化巩固该课程所学的新知识。由此可见教师只需具备与课程学习内容相关的数学文化知识即可。
（2）拓展数学阅读，感悟数学魅力
知识的获取不仅来自于课堂，更多的来自于课外。教师在日常教学中应当引导学生进行拓展阅读，感悟数学的魅力，发现数学之美。如以作业或黑板报的形式，引导学生搜集知识的文化背景，寻找知识的来龙去脉，思考知识的应用层面。在充实学生的数学文化知识的同时，调动了学生的学习兴趣，也帮助学生构建了完整的数学知识体系。
参考文献
[1] 顾沛.南开大学的数学文化课程十年来的探索与实践——兼谈科学教育与人文教育的融合[J].中国高教研究，2011（09）.
[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[4] 徐群飞.对“黄金分割”的研究性学习[J].数学通报，2006（04）.
[5] 梅东伟.明清通俗小说中嫦娥故事的重述与文化反思[J].明清小说研究，2018（04）.
[6]张舰戈.牛郎织女神话传说起源地—沂源版探析[J].求实，2010（S1）.
[7] 张沛.旬阳出土的独孤信多面体煤精组印[J].文博，1985（02）.
[8] 黄红梅.数学文化的教育价值[J].教学与管理，2018（03）.
【责任编辑 郭振玲】