摘 要：本文主要研究了基于最速下降法的平面选址问题的无约束优化求解方法，针对实际问题建立数学模型，最后在Matlab中利用最速下降法求解。
关键词：最速下降法 无约束优化 平面选址
中图分类号：TP3文献标识码：A文章编号：1672-3791(2011)12(c)-0000-00
作者简介：李廷锋（1979—），男，河南淮阳人，郑州职业技术学院软件工程系，硕士，主要研究方向最优化理论及应用。
1 引言
平面选址问题是运筹学中的一个经典问题。最早的选址问题是由经济学家Alfred Weber于1909年提出的，他所考虑的选址问题是确定一个仓库位置，从而使仓库与各处客户之间总的运输距离最短，这就是著名的Weber问题。选址问题在现实生活中有着广泛的应用背景，系统工程、现代物流、金融经济、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如银行、超市、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。选址是最重要的长期决策之一，选址的好坏直接影响到企业的成本，人民生活的便利程度，战争的成败等；好的选址可以为企业降低服务成本，提高服务质量、服务效率，扩大利润和市场份额等，进而影响到企业利润和市场竞争力，甚至决定了企业的命运；差的选址往往会带来很大的不便和损失，甚至是灾难，所以，选址问题的研究有着重大的经济、社会和军事意义。
一般意义下的选址问题可能是非常复杂的，涉及到时间的、空间的、自然的、社会的各种复杂条件。本文仅研究最常见的一种无约束平面选址问题，即二维空间的极值最优化问题：在平面上给定n个位置点Pi(xi,yi) (i=l,2,…,n)，现要确定选址位置点P(x,y)，使点P(x,y)到平面上n个点的距离之和最小，即，对于无约束优化问题本文仅利用最速下降法求解。
2 最速下降法
最速下降法（steepest descent method)是以负梯度方向作为下降方向的极小化算法，又称梯度法，是1874年法国科学家Cauchy提出的，最速下降法是无约束最优化中最简单的方法。最速下降法具有结构简单，计算量小，存储量小，对初始点没有特殊要求等优点。特别适合于低维空间的无约束最优化求解问题，例如，我们提出的平面选址问题就是二维空间的无约束优化问题。
基本思想：求解无约束优化问题min f(x)，从当前点xk出发，取函数f(x)在点xk处的负梯度方向dk=－▽f(xk)， 即最速下降方向，得到点列{xk}满足条件f(x(k+1)) 一般步骤： 步1 给定初始点x0，精度ε>0.令k=0. 步2 若‖▽f(xk)‖≦ε，则终止算法，得到解xk.否则，计算dk=－▽f(xk).转步3. 步3 由线搜索确定步长αk. 步4 令x(k+1)=x(k)+αkd(k),k:=k+1，转步2. _______________________________________________________________________________ 3 实际问题提出及模型建立 如图1为某市一片市民居住区分布示意图。政府欲在这几个居住人口密集的社区附近建立一个灾难应急场所，使得居民在遇到紧急情况时，能迅速到达应急避难场所，以保证市民的人身安全，并且要求大家所走的路程最短，该如何选择应急场所修建的位置？ 依据居民区分布示意图，建立直角坐标系如图1所示，分别对5个居民区核心位置设置坐标如表1所示： 该应急场所的选址就是一个典型的平面选址问题，其实质就是一个求距离和最小值问题，即是2维空间的无约束最优化问题求解，假设需确定的选址位置的坐标为（x,y），则建立如下优化模型： 4 最速下降法求解 在Matlab中，用无约束优化算法中的最速下降法求解，在Matlab命令窗口中输入： 其中，minFD ：最速下降法函数； D：目标函数； X0 ：初始点为（0，0）； mf：目标函数最小值； xm：目标函数取最小值时的变量值； 结果如下： xm= 1.7807 5.6636 mf= 44.7733 即选址中心位置坐标为（1.7807,5.6636），它到各个居民区的总距离为44.7733；根据Matlab求出的结果，选址中心的坐标如图2中“选址中心”所示。 5 结束语 平面选址问题在实际生产生活中有着广泛的应用背景，本文主要研究了基于最速下降法的平面选址问题的求解方法，通过最速下降法在实际生活中的应用研究，以期能在系统工程优化、经济金融等多个应用领域给读者一点启发，为决策者提供一定的参考依据，将理论研究更好地为实际生产生活服务。 参考文献 [1] 朱德通. 最优化模型与实验[M]. 上海: 同济大学出版社,2003. [2] 薛 毅. 最优化原理与方法[M]. 北京：北京工业大学出版社，2004. [3] 张天赐. 平面选址问题概述[J]. 运筹学杂志，1985(01). [4] 王金华,孙可伟等.城市垃圾中转站选址研究[J]. 环境科学与管理，2008(05). [5] 龚纯,王正林. Matlab最优化计算[M]. 北京：电子工业出版社，2010. [6] 袁和金,王翠茹. 粒子群优化算法在求解平面选址问题中的应用研究[J]. 华北电力大学学报,2004(04). [7] 李董辉等.数值最优化[M].北京：科学出版社，2005.