摘 要：在《概率论与数理统计》教学中有可能遇到各种问题和难点有些是概念上容易混淆有的则是方法不易掌握妥善解决好这些难点对教学将有极大的帮助。
关键词：概率 难点 方法
《概率论与数理统计》是普通全日制本科大学经管类专业一门重要的专业基础课也是后续《统计学》乃至《计量经济学》的理论基础。随着统计学方法在经济管理理论和实践中的广泛应用学好这门课对于经管类专业学生未来的工作、学习和生活将有极大的帮助和裨益。然而在教学过程中学生普遍感觉到这门课程内容抽象方法独特思想深奥不易掌握。因此将一些难点问题集中起来加以总结和归纳然后有意识地给学生讲解不失为一种提高学生的学习兴趣和课堂教学质量的好办法。
难点一：随机事件的表示。在求解随机事件的概率时总是先将这个事件用数学符号表示出来然后再用公式计算。有些事件表示起来可能比较简单但有些事件属于复合事件表示起来相对复杂。初学者由于对事件之间的关系以及运算规律不甚了解而感到无从下手。
例：设袋中有大小相同的 个球 个红球 个黑球 个白球从中无放回地任取两次每次取一个以Ak，Bk，Ck， 分别表示第K次取到红、黑、白球（k=1，2） ，试表示下列事件：（1）仅取到一个黑球；（2）第二次取到黑球；（3）没取到黑球；（4）最多只取到一个黑球。
对这个题大多数同学只知道按照可能的几种情况硬性地去拼凑也就是答案里的第一种形式却不知道还有更简单的表示方法而且各种方法之间是等价的。从计算的角度看我们当然希望表示的形式越简单越好。所以学会尽可能简单地表示事件是概率运算的基本功这一关非过不可。老师除了耐心讲解和悉心指导之外还应布置一定数量的习题供学生练习以达到举一反三的效果。
难点二：频率与概率的区别与联系。频率是事件发生次数与试验次数的比值必须通过试验或观察才能知晓即使是在同一条件下也具有随机波动性是不稳定的。而概率却是客观存在的、唯一的不以人的意志为转移也不因人的主观喜好而改变。任何一个随机事件都有一个概率与之相对应只不过我们不知道它只能通过大量的试验和观察利用频率去推断可见频率只是概率的外在表现形式。但是随着试验次数的增加（趋于无穷大）频率会逐渐稳定在某个常数的左右摆动而这个常数就是所谓的概率。大数定律用严格的数学方法证明了两者之间的关系即
难点三：古典概型的一题多解。求等可能事件概率的公式是非常简单的然而当求法不止一种的时候初学者往往吃不准哪一种方法是正确的看起来每一种方法都有道理都是对的。究其原因一是样本空间模糊不清二是没有保持分子分母样本空间的一致性。
例如：袋中装有a 个黑球b 个白球从中逐一将它们取出求第 次取出的球恰为黑球的概率。
这个题的解法有好几种学生在做的时候答案也是五花八门有些看似正确却经不起推敲原因都出在上述两个方面。正确的解法是：
解法一：将a+b 个球看作是彼此可辨的则P（A）=
解法二：单看第k 次取球则P（A）=
解法三：将取球分为两步即前k 次和后a+b-k 则
解法四：分别视黑球彼此无差别和白球彼此无差别则
这里的每一种解法都遵循了我上面讲的两个原则因此解法虽然不同但结果是一样的。
难点四：对立与互斥、相互独立与两两独立、相互独立与互斥的区别。对立一定是针对两个事件两个以上的事件之间不存在这种关系而且每次试验只能发生其一当其中一个事件发生时另一个一定不会发生；互斥则既可以发生在两个事件之间也可以发生在多个事件之间在多个事件的情况下称为两两互斥。当其中一个事件发生时其他所有事件都不能同时发生。因此对立可以看作是互斥的特殊情况。相互独立既可以指两个事件也可以指多个事件在多个事件的场合必须满足其中任意2个、3个……n个事件都相互独立也就是要同时满足 个等式而两两独立仅表示n个事件中每两个相互独立满足的条件要少得多。例如：甲乙两人各掷一枚均匀硬币事件A，B，C 分别表示甲掷出正面乙掷出正面和两人掷出的花色不同则A，B，C 两两独立但不相互独立。另外相互独立与互斥是两码事相互独立意味着两个事件发生与否互不相干互不影响而互斥指的是两个事件不能同时发生所以相互独立与互斥是不可能同时存在的。但要注意的是与互斥事件不同相互独立的事件在图形表示上并不一定就没有交集或公共部分。
难点五：泊松分布、二项分布、正态分布三者的联系。通过推导知（过程略）在试验次数 较大时二项分布趋向于泊松分布而根据拉普拉斯中心极限定理又证明了二项分布以正态分布为极限分布。看起来似乎矛盾实际上在n 较大时两种分布都趋向于正态分布但是两个结论适用的场合不同。前者一般要求n>10，p≤0.1 ，np 大小适中此时拟合度较高；而后者则要求n>30，np 不能过大。一般来说n 越大，越适合于用正态分布但如果参数np 超过了查表的范围不论用哪种分布来逼近概率也都是求不出来的。
难点六：利用计数随机变量求数学期望。求数学期望一般有两种方法一种是直接用定义此法只有计算的难易之分步骤变化不大；还有一种则是先将随机变量分解为若干个计数的随机变量之和再利用数学期望的性质求和。在直接用定义求比较困难的情况下这种方法往往有着意想不到的效果计算非常简便但含有一定的技巧性比较难掌握。关键是如何根据问题引入相应的计数随机变量使得所求的随机变量能够表示成这些计数随机变量的和。因为不同的问题计数随机变量的设法也不相同。
例如：将n只球放入M只盒子设每只球落入各个盒子是等可能的求有球盒子数的数学期望。
这个题如果用定义去做的话就太难了。两相比较孰优孰劣一目了然。
难点七：不相关与相互独立的差别。相不相关是就线性关系而言独不独立则是就一般关系而言。相关意味着两个变量之间存在线性关系不相关则不存在线性关系但可能存在别的关系；独立是指两个变量取何值彼此互不影响因此不存在任何关系不独立则是指两个变量取值是互相影响的因此肯定有某种关系存在但未必是线性关系。所以如果两个变量相互独立肯定是不相关的但反过来如果两个变量不相关则它们不一定相互独立。有一种情况比较特殊那就是对于服从二维正态分布的二维随机变量而言它的两个分量之间不相关与相互独立是等价的。但是这里要注意一个前提那就是只有在某个二维随机变量服从二维正态分布的情况下这个结论才成立不然很容易出现误判。如选择题：
设X，Y 均服从正态分布且不相关则
（1）XY 一定独立（2）（X，Y） 服从二维正态分布
（3）X，Y 未必独立 （4）X+Y 服从一维正态分布
正确答案是（3）而不是其他。
以上难点只是个人教学经验的粗浅总结可能会有遗漏也可能总结得很不全面还有待于在今后的教学过程中不断积累和进一步完善。
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