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摘 要：作为三大最经典混沌系统之一的Lorenz系统，由于其三阶Lorenz系统中含有两个非线性项xz和xy，电路实现困难。文章采用双极转换常加上数绝对值函数的方法来替换非线性项，实现了一类模拟三阶连续自治Lorenz系统的电路。
关键词：Lorenz系统；吸引子；拓扑结构；电路设计
1 概述
最近十多年来，由于混沌控制与可同步、混沌信号宽频谱及伪随机特性，人们发现混沌在很多领域是有用的，或者存在巨大的应用前景，如电力系统崩溃保护，信息处理，低能耗流体混合，生物医学工程，人脑和心脏中的混沌现象分析，混沌保密通信等。所有这些应用前景都强烈地驱使人们去研究混沌的控制与同步，混沌的反控制与反同步。在应用混沌技术的过程中，都往往需要有目的地生成混沌，或者强化现存的混沌行为，最终通过电路设计来产生混沌信号和实现混沌动力学行为。[1]
本文介绍一种实现三阶模拟Lorenz系统的电路设计方法，从电路仿真结果可以看出，该电路可以实现三阶Lorenz系统类似蝴蝶状吸引子的拓扑结构。
2 三阶连续自治三阶Lorenz系统模型
三阶连续自治Lorenz系统模型（1）是一个三阶连续自治系统且含有两个非线性项xz和xy。这两个非线性项使系统（1）产生分岔、混沌等复杂的动力学行为，但同时它们又使得混沌系统的电路实现变得困难。
方程（2）中不再含有二次项，所以它很容易用电路来实现，但它能够产生蝴蝶状的混沌吸引子，同时具有类似于Lorenz系统的一些定性特征。控制器m可以将系统的轨线限制在对称轴的左边或右边，分别得到左半吸引子和右半吸引子，且左、右半吸引子在m=0时可形成整个蝴蝶型吸引子。
4 模拟Lorenz系统电路实现
在图1所示电路中，放大器A1-A5是电流反馈运算放大器， 由于其具有极佳的动态特性经常用在高速运算系统中。通过一个全波段的整流器来实现非线性项"x|，双极转换常数K通过四个MOS晶体管开关和一个相连的比较仪来实现。选择C1=C2=C3=C，R1=R2=R1=R3=R，Ra=R/a，Rc=R/c，V1=mVI，Vb=bVI，其中VI是任意一个规范化的电压，x=VX/VI，y=VY/VI，z=VZ/VI。则此电路可以实现方程（2）。
5 结束语
在工程应用中，用电路来从物理上来实现Lorenz系統，意义重大。本文介绍一种非常近似地实现Lorenz系统的电路，在本电路中非线性项|x|的偶对称的本质决定了系统（2）在|m|<0.01时，通过一个镜像映射实现两个连续“翅膀”的蝴蝶型吸引子。
参考文献
[1]辛方.新分数阶混沌系统的电路仿真与控制[D].哈尔滨工程大学，2011.
[2] 李冠林.分段线性混沌系统及其电路综合的研究[D].哈尔滨工业大学，2008.