摘要：在遵循上期边际利润估计基础上对有限理性下的Cuornot产量模型进行改进，建立以相邻两个时期总贴现利润为优化目标的资源寡头博弈模型。主要分析改进后模型的稳定性及稳定点的均衡性质。分析结果表明，贴现率、资源增长率等参数对系统稳定性和稳定点都有影响。
关键词：寡头博弈；稳定性；有限理性；资源；Nash均衡
中图分类号：O225；F224 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2014）01-0-02
近年来，人们在经济理论的研究中越来越强调有限理性的理性基础，如，文献[2]～[7]在有限理性的假设下，对Cournot寡头博弈中的各种形式的产量制定及产量调整策略展开了研究。这些研究一般都是通过有限时期内的市场信息来调整产量，以获得最大利润，其中以边际利润调整产量是其中一种常见的调整方式[1]～[6]。
显然，这种根据有限时期内的信息来调整产量的策略也是作为资源开发的一种策略选择。但资源的开发与一般商品不同——资源是有限的，开发者决策时必然会受到自然资源稀缺性的数量约束，因此，在制定当期的资源开发量时，需要考虑后期经济利益，体现当代与下代的代际公平性。所以适用于一般商品生产的博弈模型不完全适合资源开发生产。
针对资源开发的寡头博弈问题，本文放弃了动态微分博弈关于完全理性的假设，不考虑决策者在整个时间域上的策略选择，改进Cournot博弈模型中关于商品生产的局部动态调整策略[7]，构建基于有限个经济时期（两个经济时期）内生产决策最优化的资源开发动态调整策略。本文对改进后Cournot寡头博弈模型进行动力学分析，分析其稳定性及其稳定点的均衡性质。
一、Cuornot寡头博弈模型及其局限性
考虑不完全竞争市场上有两个企业生产同质的产品，每个企业的战略空间是选择产量，他们在离散的时间周期内选择产量。用表示生产者在期的产量，假设成本为线性函数：，并设（即假设生产者均采用相同的生产方法，单位生产成本相同）。这类资源在期的价格由总产量通过逆需求函数决定，其中为正常数，表示市场上该产品的最高价格，则单位利润函数可表示为。为了方便计算，现在用如下更简单的函数①来表示单位利润
（1）
则第家企业在期的利润和边际利润可分别表示为
（2）
由于现实中很难获得完全的市场信息，每个企业在进行产量决策时其行为具有一定的适应性，也就是产量调整是在有限理性下对上期边际利润的估计基础上进行的。
若企业的第期边际利润是负的，那么在第期将减少产量，反之若边际利润是正的，将会增加产量。则第期的产量具有如下形式
（3）
令，是一个正的参数，表示企业产量调整的相对速度。把（2）式代入（3）式得到有限理性下Cuornot寡头博弈的产量模型
（4）
模型（4）所表示的系统有唯一的稳定点，其矩阵可表示为，经计算易知系统（4）的稳定范围是。
假设两企业开发的均为可再生资源，并各自的资源增长方式都满足，其中是资源增长率，是时期的资源储备量。如果生产者在时期的开发量为，则生产者在时期的资源储量为
（5）
在上述假设下，模型（4）就等价于
（6）
该系统的矩阵可表示为
显然为该矩阵的特征值，而，所以系统（6）不稳定。
由此可见，将模型（4）用于可再生资源的开发是不合理的，否则资源必将枯竭。可从图1中看出模型（4）的局限性，即使在其稳定范围内取参数时，资源的储备量仍出现负值，说明资源已经枯竭。
图1（）
系统（6）资源开发量及储备量
二、Cuornot 寡头博弈改进模型
为了克服上述模型的局限性，需要考虑资源的稀缺性，资源的储备量会对后期经济利益造成影响，因此在确定当期资源开发量时，需关注多个经济时期，这里主要关注当期与下期②这两个经济时期，为了兼顾这两个时期的经济利益，需要实现两个时期的贴现总利润最大化。
下面对模型（4）作如下改进
用、和、分别表示企业1、2在期的资源开发量和资源储备量，用表示贴现率，则根据单位利润函数（1），企业1、2在、两个时期的总贴现利润、分别可以表示为③
其中
那么企业1，2的边际利润可分别表示为
将（8）式代入（3）式则可得到一个在有限理性假设下考虑资源储备量约束的双寡头资源产量博弈离散动力系统：
改进模型的稳定性分析：
下面分析系统（9）的稳定性
为了简便，令，经计算易知，E*为系统唯一的一个平衡点
则在处，（9）的矩阵为
该矩阵的特征值为
根据系统平衡点稳定条件是，可得。又根据的非负性条件，可以解得或。
命题1 当，系统（9）是稳定的，而且均衡点。
证明：因为，。从而当 时，有 ，即，所以系统的平衡点稳定。并且当 时，。证毕。
现进一步讨论贴现率、增长率等参数等对系统均衡状态的影响
命题2 系统（9）在均衡点处成立
（1）
（2）
证明：因为
而，所以有如上结论。证毕。
由于，所以时必有，，这一结果可以表明，贴现率越大（决策者越注重短期经济利益），资源增长率越小，会导致达到市场稳态的资源开发量与各自资源储备量越小，将损害资源的长远发展。而资源可再生增长率对稳态的资源开发量与资源储量存在正的相关性，直观上这是明显的。
如图2显示，模型（9）的资源开发量和储备量都趋于稳定且稳定于一正值。比较图1与图2发现，模型经过改进后，资源系统稳定于一正值，这将满足资源开发的可持续发展需要，具有实际意义。
图2 （）
系统（9）资源开发量和储备量关于时间变化图
三、结论
本文对Cournot动态寡头博弈模型进行改进，建立考虑资源储量约束的基于有限理性决策的双寡头资源产量博弈模型，并对模型的动态性进行分析。对系统的稳定性分析表明，改进后模型当贴现率较大时，决策者更注重短期经济利益，导致市场稳态的资源开发量与储量都将减小，资源的长远发展受到损害；反之，资源开发利用能够获得长期稳定的可持续发展。我们认为这些结论对实现资源的代际公平等问题具有理论意义。
注释：
①事实上，，改变度量单位令、，就有。
②当期与下期也可以解释为两个代际——资源是稀缺的，经济利益要在当代与下代之间权益分配。当所有经济行为人都考虑这个问题时，资源的代际公平问题就得到了一定体现。
③因为只考虑了两个经济时期或者两个代际，资源的开发生产就在两个时期内完全分配。
参考文献：
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[2] Vittorio Cafagna and Paolo Coccorese .Dynamical systems and the arising of cooperation in a Cournot duopoly[J]. Chaos， Solitons and Fractals，2005，25（3）：655–664.
[3] M T Yassen and H N Agiza. Analysis of a duopoly game with delayed bounded rationality[J].Applied Mathematics and Computation ，2003，138：387-402.
[4] H N Agiza， A S Hegazi and A A Elsadany. The dynamics of Bowley"s model with bounded rationality[J]. Chaos，Solitons and Fractals， 2001，12（9）：1705-1717.
[5] H N Agiza， A S Hegazi and A A Elsadany.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J]. Mathematics and Computers in Simulation ，2002，58（2）：133–146.
[6] 易余胤，盛昭瀚，肖条军.具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[J].系统工程学报，2004，19（3）：244-250.
[7] 赵兴平，杜建国，姚洪兴，刘秋生.基于谨慎考虑下的产量模型及复杂性分析[J].江苏大学学报（自然科学版），2005，26（6A）：86-90.
作者简介：罗 琴（1982-），女，浙江金华人，硕士，南湖学院，研究方向：经济数学。