【摘要】投入产出数学模型是利用数学工具对国民经济系统中各部门之间产品的投入与产出的内在关系进行全面综合描述的一种经济数学模型，是现代经济管理工作者所必备的经济数学工具.本文主要将其与经济管理中的常见问题联系起来，探析相关数学模型的构建及其具体应用价值，从而阐述了它是进行经济预测、推断和决策的非常适用且实用的研究方法和工具.
【关键词】投入产出数学模型；最优化；平衡方程；应用价值
投入产出法是由诺贝尔经济学奖获得者Wassily W.Leontief教授于20世纪30年代首先创立，目前已广泛应用于世界各国家、各地区及各类企业的经济运行管理中，具有非常重要的意义.它是一种用来全面分析经济系统内部各部门间的消耗与生产（即投入与产出）之间的数量依存关系的线性模型，一般称为投入产出数学模型.它的基本方法是通过编制投入产出平衡表，然后据此建立数学模型，再利用各种数学方法及电子计算技术来进行分析研究，是进行经济预测及规划管理的一种非常有效的工具.经过多年的不断深入研究，投入产出数学模型已经得到了非常深入的发展，发展出了许多种不同分类的投入产出数学模型，而每种模型又有自己独特的功能与应用.
一、投入产出数学模型的分类
投入产出数学模型有多种分类方法，但从大体上可以分为两类：一类是闭模型，在这类模型中所有产品都被参加生产的部门全部消耗；另一类是开模型，在这类模型中产品的一部分被参加生产的部门消耗，而其余部分由其他部门消耗.当然我们平常接触得最多的是开模型的投入产出数学模型，其按照不同的情况有多种不同的分类方式：（1）按反映的时期分为动态型与静态型.（2）按计量单位的不同分为劳动型、能量型、价值型、实物型等.（3）按资料范围分为国家型、地区型、企业型等.（4）从统计的对象分为随机型与离散型.（5）按资料的性质和内容分为报告期和计划期两类.
二、投入产出数学模型的功能
投入产出数学模型可以清楚地反映国民经济各部门、再生产各环节以及产业结构之间的内在联系，从而进行情况分析、经济预测、制订计划及计划调整.其在经济分析方面有非常多的用途，比如：（1）研究和确定国民经济中许多重要的结构分析，如三大产业之间的结构比例关系、储蓄和消费的比例关系等.（2）研究某些产品的价格变动对其他产品价格的影响，即对价格变动幅度的关系进行分析与讨论.（3）研究生产与消耗部门之间如果结构发生变动对各部门所产生影响的相互关系.（4）研究农村教育状况、农村基础设施的投入水平对新农村建设的影响.（5）研究分析污染治理设施投资对经济的影响和污染治理设施运行成本对经济的影响等.在制订或调整计划方面，它也有多种用途，比如：（1）对经济前景进行分析、预测从而制定最优发展规划.（2）制定科学合理的产品价格.（3）根据情况变化对各部门进行综合平衡.（4）预测未来各类需求情况.（5）构建各类投资对经济贡献的大小及比例等.
三、投入产出平衡表及基本平衡方程
2.基本平衡方程
产品分配平衡方程：xi=∑nj=1xij+yi （i=1，2，…，n），矩阵形式：x=Ax+y
产值构成平衡方程：xj=∑ni=1xij+Nj（j=1，2，…，n），矩阵形式：x=Dx+z
直接消耗系数：aij=xijxj （i，j=1，2，…，n）
四、投入产出数学模型的案例分析
例1 假设某经济系统由三个部门金属、石油、电力构成，每个部门各生产一种产品，本年度它们的生产和消耗情况如下表所示（单位：亿元）.
问题：据预测，两年后总产量需要分别增长30%，20%，40%，求最终产量的增长情况.
解 设该经济系统计划期总产出和最终产品分别为X=x1，x2，x3T，Y=y1，y2，y3T，
则该系统的金属部门总产量为x1=900（1+4%）=1170，石油部门总产量为x2=800（1+20%）=960，电力部门总产量为600（1+40%）=840.从而
A=0.2780.1250.3330.1110.1880.1670.1690.1250.167，E-A=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833，
Y=E-AX=445.02509.37381.99.故两年后三个部门的最终产量分别为：金属部门445.02亿元，石油部门509.37亿元，电力部门381.99亿元.于是可以预测两年后三个部门最终产量的增长幅度分别为：
金属部门增长：445.02-350[]350=27.15%，
石油部门增长：509.37-450[]450=13.19%，电力部门增长：381.99-250[]250=52.79%.
例2 在上例中，如果市场预测四年后的消费需求量（最终产量）为y4=600800450，求所需要的总产量.
解 由AX+Y=X得X=E-A-1Y4，
即x1x2x3=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833-1600800450=1.6050.3570.7130.2951.3360.3860.3660.2271.401600800450=1569.451419.501031.65.
即四年后各部门所需要的总产量为：金属部门1569.45亿元，石油部门1419.50亿元，电力部门1031.65亿元.也就是说，我们根据市场预测的需求总量，得到了若干年后所需要的总产量，从而为下一步制订出科学合理的计划打下了科学的基础.
五、结束语
由以上案例可以看出，投入产出数学模型是一种非常重要的具有深厚意义与价值的研究工具，不管是对宏观经济的研究还是对微观经济的研究都有无可替代的作用.当然，对于投入产出数学模型本身的研究还远远没有结束，还有很多需要进一步深入研究的地方.目前投入产出数学模型研究的发展趋势是把投入产出法与线性规划、非线性规划、动态规划模型等相结合，从而编制最优化模型.
【参考文献】
[1]赵树嫄.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，1997.
[2]张双德.经济与管理中的数学方法[M].天津：天津人民出版社，1995.
[3]广州科技职业技术学院数学教研室.投入产出数学模型[OL].2012，[访问时间：2012-06-28]http：∥jp.gzkjxy.net/2010/sx/jxzy/xs/321.html.