基于对数学本质反思下的高考命题探究

在复习迎考的冲刺阶段,同学们应该重新回顾前两年的高考试题,把握命题的趋势.与此同时,再次梳理各单元的基本知识点,理清各单元所体现的数学本质和数学思想,并针对这些问题作相应的强化训练.真正掌握数学本质,以不变应万变,必定能在高考中取得优异的成绩.下面笔者分专题对高考中解答题的命题方向作一些分析,并给出相应配套试题,供同学们参考.

一、立体几何考查方向

立体几何单元就其数学本质而言,主要是借助空间的平行与垂直关系来考查同学们的空间想象能力和推理论证能力.从08年与09年江苏高考对立体几何的考查情况来看,难度已趋于稳定与理性(09年立体几何题的难度系数达到了0.85),预计在考试大纲与教材不出现变化的情况下,不会有难度上的变化.在最后复习阶段,仍要强化基本的判定定理与性质定理的准确使用和规范表述,无需过多的关注异面直线所成角的计算,更不应涉及线面角及面面角的计算.

例1 (2010届南京高三期末卷)如图,在四棱锥E—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.

(1)求证:AE⊥BC;

(2)如果点N为线段AB的中点,求证:MN∥平面ADE.

证明:(1)∵BM⊥平面ACE,AE平面ACE,∴BM⊥AE.∵AE⊥BE,且BE∩BM=B,BE、BM平面EBC,

∴AE⊥平面EBC,∴AE⊥BC.

(2)取DE中点H,连结MH、AH.

∵BM⊥平面ACE,EC平面ACE,∴BM⊥EC.

∵BE=BC,BM⊥EC,∴M为CE中点.

∴MH

瘙 綊 12DC.

∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC

瘙 綊 AB.故MH

瘙 綊 12AB.

∵N为AB中点,∴MH

瘙 綊 AN.∴四边形ANMH为平行四边形.

∴MN∥AH.而MN平面ADE,AH平面ADE.∴MN∥平面ADE.

【注:本题也可以先取CD中点F,证得,平面MNF∥平面ADE,从而MN∥平面ADE.】

二、三角与向量考查方向

三角函数单元中“图像与性质、三角基本公式、解三角形”是三块核心内容,“整体角处理(换元思想)、图形阅读、范围分析”是三个重要能力.最后复习阶段应该注意有针对性的强化与突破.07、08年高考对三角函数三块核心内容进行了全面的考查,而09年没有涉及有关解三角形的问题.向量具有数与形的双重性,高考中有关向量的试题主要侧重于考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题(其中与三角的结合较为普遍).

例2 (2010届镇江高三期末卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.

(1)求角B的大小;

(2)设m=(cosA,cos2A),n=(-125,1),且m•n取最小值时,求tan(A-π4)值.

解:(1)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC

∴2sinA•cosB=sin(B+C)

即2sinA•cosB=sinA,可得:cosB=12,∴B=π3.

(2)∵m•n=-125cosA+cos2A=-125cosA+2cos2A-1=2(cosA-35)2-4325,

∴当cosA=35时,m•n取最小值,此时,sinA=45,tanA=43,

∴tan(A-π4)=tanA-11+tanA=43-11+43=17.

三、解析几何考查方向

解析几何单元的考查主要有两个方面:一是直线和圆的方程的求法;二是直线与圆的位置关系.该单元的复习主要应该突出两个核心问题,一是平面几何性质的合理有效使用,二是用代数知识解决几何问题的数学本质.从08、09两年的高考试题来看,直线与圆的考查很好的体现了上面所讲的两个核心,都是从直线与圆的基本知识入手,而最终的落脚点都在“恒成立问题”.可见,这两年考题的真正难点是在题意与图形的分析,以及一些代数思想的渗透.

例3 已知椭圆x2m2+m+y2m=1的右焦点为F,右准线为l,且直线y=x与l相交于A点.

(Ⅰ)若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程;

(Ⅱ)当m变化时,求证:⊙C经过除原点O外的另一个定点B;

(Ⅲ)若AF•AB<5时,求椭圆离心率e的范围.

解:(Ⅰ)∵a2=m2+m,b2=m,∴c2=m2,即c=m,∴F(m,0),准线x=1+m,

∴A(1+m,1+m).

设⊙C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将O、F、A三点坐标代入得:

F=0=m2+Dm=0=2+2m+D+E=0,解得

F=0=D=-m=E=-2-m,

∴⊙C的方程为x2+y2-mx-(2+m)y=0.

(Ⅱ)设点B坐标为(p,q),则p2+q2-mp-(2+m)q=0,

整理得:p2+q2-2q-m(p+q)=0对任意实数m都成立,

∴p+q=0=p2+q2-2q=0,

解得

p=0=q=0或p=-1=q=1,

故当m变化时,⊙C经过除原点O外的另外一个定点B(-1,1)

(Ⅲ)由B(-1,1)、F(m,0)、A(1+m,1+m)

得AF=(-1,-1-m),AB=(-2-m,-m),

∴AF•AB=m2+2m+2<5,解得-3

又m2+m>0=m>0,∴0

又椭圆的离心率e=mm2+m=m2m2+m=11+1m(0

∴椭圆的离心率的范围是0

四、数列考查方向

从近三年的江苏高考试题来看,数列的考查更多的关注了基本量运算,回归到数列的本质特征,这与整个高考命题思路与发展趋势是一致的.但是在回归本质的同时又产生了新的增长点,那就是开始更多的关注数列的函数特性,逐步涉及有关数论的基础知识.虽然09年高考数列前移,但是,一旦数列与其他知识综合程度提高,或是在思维要求上进一步提升的话,数列题将会后移.

例4 已知数列{an},{bn}满足a1=b1=6,an+1=an+n-3,bn+1=12bn+1(n∈N*).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)求使得am=bm成立的正整数m的取值集合M.

解:(1)由an+1=an+n-3,得an-an-1=n-4(n≥2),

所以,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=12n(n-7)+9(n≥2),

n=1也符合上式,所以an=12n(n-7)+9.

由bn+1=12bn+1,得bn+1-2=12(bn-2).

所以,bn-2=(b1-2)•12n-1=12n-3,即有bn=2+12n-3(n∈N*).

(2)由上可得,a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3.

当n≥4时,an=12n(n-7)+9=12n-722+238,单调递增,故an≥a4=3;bn=2+12n-3,单调递减,故bn≤b4=52.

综上,集合M={1,2,3}.

【注:第(2)问可以由am=bm,列出方程12m(m-7)+9=2+12m-3(*),将方程整理为m(m-7)+14=12m-4,利用方程(*)等号的左边必是一个整数,通过对方程等号的右边取值情况的考察加以解决.或是利用方程等号的右边是指数函数型的(底数小于1),根据其取值的有界性,从而确定12m(m-7)+9的取值范围,进而通过解两个二次不等式获得m的取值范围.】

五、应用题考查方向

常见的应用题考查类型主要有:与基本不等式相关的应用题;与二次函数(分段函数)相关的应用题;与数列相关的应用题;与导数相关的应用题;与三角函数相关的应用题等等.

例5 (2010年常州市教育学会学业水平监测卷)工厂生产某种零件,每天需要固定成本100元,每生产1件,还需再投入资金2元.若每天生产的零件能全部售出,每件的销售收入P(x)(元)与当天生产的件数x(件)之间有以下关系:P(x)=

83-13x2,0

520x-1331x3,x>10.,

设当天的利润为y(元).

(1)写出y关于x的函数关系式;

(2)要使当天利润最大,当天应生产多少件零件?

解:(1)当0

当x>10时,y=x520x-1331x3-2x-100=-2x-1331x2+420.

∴y=-13x3+81x-100,010,x∈N.

(2)当00;当x∈(9,10)时,y′<0.

∴当x=9时,ymax=386;

当x>10时,y′=--2×1331x3-2,

当x∈(10,11)时,y′>0;当x∈(11,+∞)时,y′<0.

∴当x=11时,ymax=387.

∴综上可知,当x=11时,y取最大值,即要使当天利润最大,当天应生产11件零件.

六、函数的综合应用考查方向

函数问题是历年高考重点考查的核心内容.从近年的高考趋势来看,函数的考查逐步从抽象函数的考查转向具体函数考查,从重结果考查转向重过程考查,而且二次函数作为核心知识单元,对其的考查力度逐年提升.函数的数学本质应该是性质与图像的综合应用,对同学们的能力要求应该重在数形结合思想与分类讨论思想.因此,对冲刺阶段的函数复习仍应该在函数的性质、函数的图象两方面花大力气强化.不等式知识突出工具性,淡化独立性,突出解,是不等式命题的新取向,而且不等式与函数的结合最为紧密,因此不等式与函数知识的相互渗透必须成为我们关注的焦点.

例6 已知函数f(x)=x2+|x-a|(a≥0).

(1)若函数f(x)为偶函数,求a的值,并求此时函数y=f(x)的单调区间;

(2)求f(x)的最小值g(a);

(3)试求g(a)+g(1-32a)的取值范围.

(1)∵函数f(x)为偶函数 ∴a=0 f(x)=x2+|x|=

x2+x,x≥0=x2-x,x<0

∴f(x)的单调增区间为[0,+∞),单调减区间为(-∞,0].

(2)f(x)=x2+|x-a|=x2+x-a,x≥a=

x2-x+a,x

=x+122-14-a,x≥a=

x-122-14+a,x

∴g(a)=f(12),a≥12=

f(a),0≤a<12

即

g(a)=a-14,a≥12=

a2,0≤a<12

(3)令1-32a≥12,则a≤13,令0≤1-32a<12,则13

∴g(1-32a)=34-32a,0≤a≤13=

(1-32a)2,13

∴g(a)+g(1-32a)=a2+34-32a,0≤a≤13=

a2+(1-32a)2,13

a-14+(1-32a)2,12≤a≤23=

a2-32a+34,0≤a≤13=

134a2-3a+1,13

当0≤a≤13,a2-32a+34=a-342+316∈1336,34

当13

134a2-3a+1=134

a-6132+413∈413,1336

当12≤a≤23,94a2-2a+34=94a-492+1136∈516,512

∴g(a)+g(1-32a)∈413,34

七、附加题考查方向

对于选做题的难度及题型较为容易把握,只要立足于书本,就可顺利得分.

我们必须高度重视必做题部分的复习与研究,09高考的两道必做题的类型与考查的知识点,在复习过程没有引起我们的足够重视.09年的命题思路十分明确,在文理同卷的情况下,命题者着重考虑了一些十分重要但在160分卷中无法考查或者不适合的知识点,例如:直线与圆锥曲线的位置关系、韦达定理的应用、计数原理、放缩法证明不等式等等.另外,我们也要关注复合函数求导,排列组合、二项式定理以及与不等式证明的综合.限于篇幅,本文不再给出相关例题,同学们可以有针对性的关注相关的试题.

(作者:王阳,昆山市教育局教研室)

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