摘 要： 全概率公式是概率论中一个重要的公式，在实际中有广泛的应用，对学生来说是一个难点。本文结合教学实际，探讨全概率公式的教学。
关键词： 全概率公式 解题思路 应用
全概率及贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程中的两个重要的公式，由于全概率公式和贝叶斯公式本身是用来解决实际问题的，因而应用背景十分重要，如果对公式的应用背景不理解，则很难灵活运用。现就如何透彻地讲解公式和灵活应用全概率公式，谈谈我在教学中的体会。
全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的综合，在进行这个知识点的教学时，如果按照课本上的顺序，直接给出公式，证明公式，然后套用公式来进行应用，这样就会导致学生感到公式不易理解，记忆困难，应用时就更感觉无从下手。鉴于此，我在教学中从实例入手，引导并帮助学生完成由已知的加法公式和乘法公式到建立全概率公式的思维过程，这样不仅可以激发学生的思维，而且能加深学生对全概率公式的理解和记忆。
引例：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：第1、2、3三家工厂提供元件的份额分别是0.15、0.80、0.05，它们的次品率分别是0.02、0.01、0.03，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率。
解：设Ａ表示“取到的是一只次品”，Ｂ（i=1，2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，由于导致Ａ发生的原因B，B，B不能唯一确定，因此求P（A）用条件概率难以解决。由题意，Ａ能且只能与B，B，B之一同时发生，即AB、AB、AB互不相容，这样Ａ可表示为AB、AB、AB三事件之和，再利用加法公式，通过求P（AB）、P（AB）、P（AB）来求P（A）。由于B+B+B=Ω（必然事件），则有A=AΩ=A（B+B+B）=AB+AB+AB。
∴P（A）=P（AB+AB+AB）P（AB）+P（AB）+P（AB）
这样，可把求P（A）经过转化，分解为简单事件的概率和，又由已知条件，P（AB）不能直接求出，但易知P（B）=0.15，P（B）=0.80，P（B）=0.05，P（A|B）=0.02，P（A|B）=0.01，P（A|B）=0.03，这样利用乘法公式即可求出P（AB），从而求得P（A）。
P（A）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（B）P（A|B）+P（B） P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125
求P（A）事实上运用的就是全概率公式。由于次品的概率P（A）直接求不出来，按照题意把Ａ分成三部分，A的发生受这三部分的影响且这三部分是互不相容的。把这三部分的概率分别求出，最后加起来，就得到Ａ的全部概率。
全概率公式：设试验Ｅ的样本空间为Ｓ，B，B，…，B为E的一组事件，若满足
（1）BB=?覫，（i≠j，i，j=1，2，…，n）
（2）B∪B∪…∪B=S且P（B）＞0（i=1，2，…，n）。则对任一事件A有
P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+…+P（B）P（A|B）。
在全概率公式中，通常把满足条件（1）（2）的事件组B，B，…，B称为完备事件组，运用全概率公式的关键在于找出这个完备事件组。完备事件组B，B，…，B可以看成是引起事件Ａ发生的一系列原因或Ａ的发生要受因素B，B，…，B的影响，一个事件Ａ往往可能在若干个不同原因B，B，…，B下发生，因而可将Ａ分解成若干个互不相容的事件，只要知道了各种原因B，B，…，B发生的概率以及各种原因B，B，…，B发生的条件下Ａ发生的概率，利用全概率公式就可求得事件Ａ发生的概率。
全概率公式是使复杂问题简单化的很有价值的一个实际应用公式。当一个事件的发生是由几个不相关过程导致的时候，运用全概率公式则可简化思考过程，起到化整为零，化难为易的作用，下面举例说明。
例１：某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9、0.7、0.4。求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。
解：问题实质上涉及两个部分：第一，选出的射手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到才全面。第二，某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率是已知道的，记A表示“选出的是i级射手”，i=1，2，3，记B表示“选出的射手能通过选拔进入比赛”则A，A，A构成一个完备事件组，有：
A∪A∪A=S且AA=?覫，i≠j，i，j=1，2，3
由题意：P（A）=4/20，P（A）=8/20，P（A）=8/20，因此
P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/20×0.9+8/20×0.7+8/20×0.4=0.62
这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了。
例2：某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过4个，并且其中恰好有i（i=0，1，2，3，4）个次品的概率如下：
求各批产品通过检查的概率。
解：设事件B是一批产品中有i个次品（i=0，1，2，3，4），则
P（B）=0.1，P（B）=0.2，P（B）=0.4，P（B）=0.2，P（B）=0.1
显然有B=S且BB=?覫（i≠j，i，j=0，1，2，3，4），故B，B，B，B，B构成一个完备事件组。设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则有
P（A|B）=1，P（A|B）==0.900，P（A|B）=≈0.809，
P（A|B）=≈0.727，P（A|B）=≈0.652
所以，由全概率公式，即得所求的概率：
P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）≈0.1×1+0.2×0.900+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.8142
对于一个复杂的事件Ａ，如果能找到一影响着Ａ发生的完备事件组B，B，…，B，而计算各B（i=1，2，…，n）的概率P（B）与条件概率P（A|B）又较容易，这时为了计算Ａ的概率，就可以考虑使用全概率公式。
参考文献：
［1］盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.高等教育出版社，2008.
［2］缪铨生.概率与数理统计.华东师范大学出版社，2000.
［3］沈恒范.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，2003.