绪论
柯西中值定理是微分学中重要基本定理之一，是连接导数与连续函数的桥梁，是构成微分学的一个重要内容，用途也十分广泛，经常作为考试的重点内容。因此，研究柯西中值定理的证明以及应用是非常有必要的。
在国外，罗尔由费马引理推导出来罗尔中值定理，法国数学家拉格朗日又根据罗尔中值定理构造函数证明出了拉格朗日定理。最后柯西根据拉格朗日插值定理证明得出柯西中值定理，我们可以把拉格朗日中值定理看作是柯西中值定理的特殊形式。罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是微分学重要定理。这些定理都是有关连续可导函数与它们导数之间的关系，利用它们我们可以研究函数的连续性、单调性以及函数凹凸性及零点等问题。
在国内，近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就有很多篇。例如赵香兰2004年在《大同职业技术学院学报》上发表《巧用微分中值定理》，周本虎2006年在《大学数学》上发表《ξ-η等式的证明方法》，荆天2008年在《科学信息》上发表《柯西中值定理及其应用》，王树勋和叶正麟2008年在《高等数学研究》上发表《柯西中值定理的几何解释》，耿信社2011年在《数学学习与研究》上发表《柯西中值定理的应用》和《柯西中值定理的几种证明》等等。
本文通过证明柯西中值定理，试着去研究一个数学问题，并且研究其应用，有助于我们更好的掌握柯西中值定理的性质，并用它去解决一些数学问题和推导一些定理。
1.柯西中值定理及其起源与发展
1637年，法国著名数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。而柯西中值定理以拉格朗日定理为理论依据得已证明，这些定理组成整个微分学的理论基础;近年来国内外学者尝试着用多种方法证明柯西中值定理，并且对其应用加以探究。
柯西中值定理：（1）f（x）及g（x）在闭区间[a，b]上连续;（2）f（x）及g（x）在开区间（a，b）内可导;（3），;那么在（a，b）内至少有一点ζ，使得：.去掉条件，柯西中值定理可以推广到一般形式，令f（x）及g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点使得.
柯西中值定理的几何意义：将值对应到纵坐标轴，将的值对应到横坐标轴上，则对任意的值都可以在此坐标轴上表示出来，而与是连续函数，若与不同时为零，那么，则坐标轴上的点（，）可连接成一条光滑连续曲线。连接该曲线两端点的向量为，而表示該曲线上某点处的切向量，那么该定理可以理解为：光滑曲线上过两端点的向量平行于曲线上某点处的切向量。不难看出其几何意义与拉格朗日中值定理的几何意义极为相像。
2.柯西中值定理的证明
利用区间套法证明柯西中值定理，在证明此定理前，我们先介绍几个引理：
引理1 设函数在上有定义，且在处可导，又为一闭区间套，且，则有.
引理2 在上连续，且是单射，则存在，且使.
证明柯西中值定理：反复利用引理2，可得闭区间套，满足且.由闭区间套定理存在，使，再由引理1有：.
3.柯西中值定理的应用
积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使.
积分第一中值定理推广：若都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得：.
结论
通过对柯西中值定理证明及应用的探讨，我们发现除了教材华东师范大学《数学分析》上用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理外，还有多种方法可以证明柯西中值定理。通过对其应用探讨，我们发现它在解决数学问题上用途很广泛，并且可以推导一些重要定理。以上对柯西中值定理的研究都是基于实函数上的，以后还可以研究它在复函数上的性质以及它在复函数上有哪些应用。
参考文献：
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[3]黄德丽.用五种方法证明柯西中值定理[J]，湖州师范学院报，2003年，25卷：27～29
[4]张跃平，葛健芽，沈利红.柯西中值定理的证明及应用[J]，金华职业技术学院报，2006年，6卷（3期）：58～60
[5]荆天.柯西中值定理及其应用[J]，高校理科研究91～92
（作者信息：恩施州清江外国语学校）