山东省临沂市2021届新高考数学四模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知
||
23
z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-
，得2i=(z a b --+，利用复数相等建立方程组
即可. 【详解】
设i,(,)z a b a b R =+∈
，则2i=(z a b --+
，所以20
a b ??=??+=?
，
解得22
a b ?=???=-?
，故2i z =
-，复数z
在复平面内对应的点为2)-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 2．设22
(1)1z i i
=
+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A
B ．1
C ．2
D
【答案】A 【解析】 【分析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】 ∵22
)1121(1z i i i i i
=-+=
+=+++
，∴||z == 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于容易题．
3．已知集合
3
{|0}
2
x
A x Z
x
-
=∈≥
+
，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（）
A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}【答案】A
【解析】
【分析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合
3
{|0}
2
x
A x Z
x
-
=∈≥=
+
{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A．
【点睛】
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.
4．设
2,(10)
()
[(6)],(10)
x x
f x
f f x x
-≥
?
=?
+<
?
,则(5)
f=( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】
∵f（x）
()
()()
210
610
x x
f f x x
?-≥
?
=?
??
+
???
?＜
，
∴f（5）＝f[f（1）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．
5．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如
图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）
A ．100
B ．1000
C ．90
D ．90
【答案】A 【解析】 【分析】
利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，即得解 【详解】
由题意，支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人 由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为
34
(0.010.024)100.34,1000.34
n +?=∴=
=． 故选：A 【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 6．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）
A ．
1112
- B ．31 C ．221-
D ．
32
【答案】C 【解析】 【分析】
求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()2
2
121x y -+-=关于直线
10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出
min min 1MN MC =-，即可得解.
【详解】
如下图所示：
设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，
则12
1022
211
a b b a ++?
--=???-?=-?-?，整理得3030a b a b --=??+-=?，解得30a b =??=?，即点()3,0C ，
所以，圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2
231x y -+=，
设点2,4y M y ?? ???，则()
2
24222213948416216y y y MC y y ??=-+=-+=-+ ???
，
当2y =±时，MC 取最小值22，因此，min min 1221MN MC =-=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
7．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．
2
3
B ．
163
C ．6
D ．与点O 的位置有关
【答案】B
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面11
ADD A上，高为2，
所以四棱锥的体积为18
42
33??=，
所以该几何体的体积为
816 8
33 -=.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
8．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )
A．60种B．70种C．75种D．150种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2
615
C=种取法，
从5名女干部中选出1名女干部，有1
55
C=种取法，则有15575
?=种不同的选法；
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题． 9．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ） A
．
B ．-1或1
C ．1
D
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得，()()2
111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可
【详解】
∵1z ai =+，∴()()2
111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题
10．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r
，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得)0b b -?=r r
，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为))0b b b b -⊥?-?=r r
r r
2
||b b ?=r r
而2cos ,2||||||
a b a b a b a b b ??===?r r r r r r r r r
所以,a b r
r 夹角为4
π
故选：B 【点睛】
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 11．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．240
B ．264
C ．274
D ．282
【答案】B 【解析】 【分析】
将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，
其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()34
36536246302642
S ?=?+?+?+?+=. 故选B 项.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题
12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )
A ．28cm
B ．212cm
C ．()
2
452cm
D ．()
2
454cm
【答案】D
【解析】 【分析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224?=.1
422
??=所以该几何体的表面积是()
24cm .
故选：D 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为________． 【答案】1 【解析】 【详解】
试题分析：因为正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，所以底面11
B D
C 的面
积为
1
22
?=，A 到平面11
B D
C 11A B DC -的体积
为1
13
=． 考点：几何体的体积的计算． 14．已知0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 【答案】（-4，2） 【解析】
试题分析：因为2142(2)()4+48y x x y x y x y x y +=++
=+≥+=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +
15．若复数13i z =-（i 是虚数单位），则(10)z z -=________ 【答案】30i 【解析】 【分析】
直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可． 【详解】
=13z i +Q ，(10)(13)(1310)30z z i i i ∴-=-+-=．
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用．
16．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．
【答案】3- 【解析】 【分析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】
根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815
x ?+++++=， 解得0x =；
又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；
033x y -=-=-.
故答案为：3-. 【点睛】
本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数()21
1x
ax x f x e
++=-. （1）证明：当0x >时，5
2x e x >；
（2）若函数()f x 只有一个零点，求正实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
1
2
.
【解析】 【分析】
（1）把5
2x e x >转化成5ln 2x x >，令()5
ln 2
g x x x =-，由题意得，即证明()min 0g x >恒成立，通过导
数求证即可
（2）直接求导可得，21"()x
a a x x a e f x -??-- ???=，令()"0f x =，得12x a =-或0x =，故根据0与12a
+的大小关系来进行分类讨论即可 【详解】
证明：（1）令()5ln 2g x x x =-
，则()2"55
122x x x
g x -=-=. 分析知，函数()g x 的增区间为5,2??+∞
???
，减区间为50,2??
???.
所以当()0,x ∈+∞时，()min 5555ln 2222g x g ??==- ???55551ln 1ln 02222???
???=--> ? ? ???????
.
所以5
ln 2x x >
，即52ln x x >， 所以5
2e x x >.
所以当0x >时，5
2e x x >.
解：（2）因为2
1()1x
ax x f e x ++=-，所以()22121"()x x
a a x x ax a x a f x e e -?
?-- ?-+-??==. 讨论：
①当1
2a =时，22"()022x x x x f x e e ??=--≤ ???
，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减.
又()00f =，
故此时函数()f x 仅有一个零点为0；
②当1
02a <<
时，令()"0f x >，得
210a x a -<<，故函数()f x 的增区间为21,0a a -?? ???
，减区间为21,a a -?
?-∞ ??
?，()0,∞+.
又极大值()00f =，所以极小值210a f a -??
<
???
.