惠州市2018届高三第三次调研考试
数学（文科）
全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. 集合}{
022≤--=x x x A ，}{
1<=x x B ，则)(B C A R = （ ）
(A) }{1x x > (B) }{12x x <≤ (C) }{1x x ≥ (D) }{
12x x ≤≤ 2．设1i
z i
=
-（i 为虚数单位），则1z =（ ）
(A)
2
2
(B) 2 (C)
1
2
(D) 2 3．等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（ ）
(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 4. 已知向量a b ⊥，2,a b ==则2a b -=（ ）
(A) 22 (B) 2 (C) 25 (D) 10
5．下列说法中正确的是（ ）
(A) “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件
(B) 若2
000:,10p x R x x ?∈-->，则2
:,10p x R x x ??∈--<
(C) 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
(D) “若6π
α=
，则1sin 2α=
”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2
α≠”
6．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是 （ ）
(A) 25 (B) 102 (C) 103 (D) 51 开始 输入x
n =1
n ≤3 输出x 否
结束
x =2x +1
n =n +1
是
7．将函数()()
1
cos2
4
f x x θ
=+（
2
π
θ<）的图象向右平移
5
12
π
个单位后得到函数()
g x 的图象，若()
g x的图象关于直线
9
x
π
=对称，则θ=（）
(A)
7
18
π
(B)
18
π
(C)
18
π
-(D)
7
18
π
-
8．已知x,y满足条件
40
10
x y
x y
x
-≤
?
?
+-≤
?
?-≥
?
，则
y
x
的最大值是( )
(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
(A)
83
3
(B)
163
3
(C)
323
3
(D) 163
10．已知函数()
y f x
=的定义域为{}
|0
x x≠，满足()()0
f x f x
+-=，当0
x>时，()ln1
f x x x
=-+，则函数()
y f x
=的大致图象是（）
(A) (B) (C) (D)
11．已知P为抛物线24
y x
=上一个动点，Q为圆()2
241
x y
+-=上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是（）
(A) 171
-(B) 252
-(C) 2(D) 17 12. 设定义在R上的函数()
y f x
=满足任意t R
∈都有()()1
2
f t
f t
+=，且(]
0,4
x∈时，()
()
f x
f x
x
">，则()()()
20164201722018
f f f
、、的大小关系是（）
(A) ()()()
22018201642017
f f f
<<(B) ()()()
22018201642017
f f f
>>
(C) ()()()
42017220182016
f f f
<<(D) ()()()
42017220182016
f f f
>>
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知数据
12
,,,
n
x x x的平均数为2，则数据
12
2,2,,2
n
x x x
+++的平均数为.
14．设0,0a b >>，且3是3a 与3b 的等比中项，则
11
a b
+的最小值为 . 15．当双曲线C 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C 的实轴、虚轴的端点作为顶点
的椭圆称为双曲线C 的“伴生椭圆”．则离心率为3的双曲线的“伴生椭圆”的 离心率为 ．
16．已知平面区域()2
2
{,|4}M x y x y =+≤， (){,|2}N x y y x =≥-+，在区域M 上
随机取一点A ，点A 落在区域N 内的概率为 ．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分）
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos 2cos sin C A B A B +=. （1）求tan A ；
（2）若25b =， AB 边上的中线17CD =，求ABC ?的面积.
18．（本小题满分12分）
在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目
“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次 考试中成绩在]100,90[内的记为A ，其中“语文”科目成绩在)90,80[内的考生有10人.
（1）求该考场考生数学科目成绩为A 的人数；
（2）已知参加本场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A .在至少一科成绩为A
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.
A
B
C
D
图2
E
19．（本小题满分12分）
如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1
22
AD CD AB ==
=, 点E 为AC 中点,将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何 体D ABC -,如图2所示.
（1）在CD 上是否存在一点F ,使//AD 平面EFB ？若存在，证明你的结论， 若不存在，请说明理由；
（2）求点C 到平面ABD 的距离.
20．（本小题满分12分）
已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22
182
x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上. （1）求12PF PF ?的最小值； （2）设直线l 的斜率为
1
2
，直线l 与椭圆C 交于A ， B 两点，若点P 在第一象限， 且121PF PF ?=-，求ABP ?面积的最大值.
21．（本小题满分12分）
已知函数()3f x ax bx c =++，其导函数()233f x x =-"+，且()01f =-，
()()ln 1g x x x m m
x
=+
≥． （1）求()f x 的极值；
（2）求证：对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤．
B
A C
D
图1 E
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为2222x y α
α
?=+??
=+??(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设射线1:3
l π
θ=
，2:6
l π
θ=
，若12,l l 分别与曲线C 相交于异于原点的两点,A B ，
求ABO ?的面积．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()221f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≤；
（2）x R ?∈，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
B
B
C
D
C
D
C
B
A
A
C
1.【解析】}{
12A x x =-≤≤,}{1≥=x x B C R ,}{
21≤≤=x x B C A R ,故选D ． 2.【解析】()()()1111
111222i i i i z i i i i +-+=
===-+--+，所以2z = ，则 12z = B. 3.【解析3345124a a a q a q +=+=，解得32q =，99910111212()a a a q a q a a q +=+=+3
2216=?=.
故选B
4. 【解析】 2a b -=
2(2)a b -22
4416425a b ab +-=+=C ．
5.【解析】 试题分析：2
()f x x x =+时，(0)0f =，但()f x 是不是奇函数，A 错；
命题2
000:,10p x R x x ?∈-->的否定是2
:,10p x R x x ??∈--≤，B 错；,p q 中只要有一个为假
命题，则p q ∧为假命题，C 错；“若6
π
α=，则1sin 2α=
”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2
α≠”是正确的，故选D ． 6.【解析】输入12x =，
经过第一次循环得到212125,2x n =?+==， 经过第二循环得到225151,3x n =?+==， 经过第三次循环得到2511103,4x n =?+==，此时输出x ， 故选C ． 考点：程序框图的识别及应用 7.【解析】因为()()1cos 24f x x θ=+，所以()1515cos 2cos 241246g x x x ππθθ??????
=-+=-+ ? ????
?????，
所以
2596k ππθπ-+= ()k Z ∈，解得1118k πθπ=+ ()k Z ∈，又2πθ<，所以718
π
θ=-，故选D. 8.【解析】． 因为0
y z x -=
- ，如图所示经过原点()0,0的直线斜率最大的为直线40x y +-=与直线1x =的交点()1,3，故max 3
31
z ==，选C.
9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为43，高为4，
则116343343
V =
??=，故选B ． 10.【解析】由()()0f x f x +-=，知()f x 是奇函数，故排除C,D ；当1
2
x =
时， 1
2111111
()ln 1ln ln 2ln ln 20222222
f e =-+=+=-=-<，从而A 正确. 11.【解析】根据抛物线的定义，点P 到准线的距离等于到焦点的距离，则距离之和等于PQ PF +，
画图可得, PQ PF +的最小值为圆心C 与焦点F 连线与抛物线相交于点P ，则最小值等于
CF r -， 圆心(0,4)C ，得224117CF =+=，所以最小值为171-，故选A.
12.【解析】由题意可得： ()()21f t f t +=，则： ()()241f t f t ++=，
据此有： ()()4f t f t =+，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 构造新函数()()(],0,4f x F x x x
=
∈，则()()()
2
""0f x x f x F x x -=
>，
则函数()F x 是定义域(]0,4内的增函数， 有：
()()()1241
2
4
f f f <<，即： ()()()41224f f f <<，
利用函数的周期性可得： ()()()()()()20164,20171,20182f f f f f f ===， 据此可得： ()()()42017220182016f f f <<.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 4 14. 4 15. 2
16. 24ππ-
13.【解析】平均数为
()()()
()12122222224n n x x x x x x n
n
n
++++
++++
++=
=+=
14.【解析】试题分析：因3)3(332
==?b a ,即33=+b a ,故1=+b a ,
所以=+b a 1142)11)((≥++=++a
b
b a b a b a ,应填4.
15.【解析】试题分析：设双曲线C 的方程为22221x y a b -=，所以22
2232a b e b a a
+==∴=， ， ∴双曲线C 的“伴生椭圆”方程为：22221y x b a +=，∴“伴生椭圆”的离心率为222
22b a a
-==
16.【解析】【答案】
2
4ππ
- 【解析】由题意可得，集合M 表示坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N 表示图中的阴
影区域，其中211
222242
S ππ=
?-??=-阴影 ，
由几何概型公式可得：点A 落在区域N 内的概率为2
22
24p ππππ
--==? .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分12分）
【答案】（1）tan 2A =; （2）当2c =时， 1
sin 42
ABC
S
bc A ==；当6c =时， 12ABC S ?=. 【解析】试题分析：（1）将()C A B π=-+代入化简求值即可；（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理解
得2c =或6，利用面积公式求解即可.
试题解析：
（1）由已知得()cos cos cos cos πcos cos C A B A B A B ??+=-++??
()cos cos cos sin sin A B A B A B =-++=， ……2分
所以sin sin 2cos sin A B A B =， ………4分 因为在ABC ?中， sin 0B ≠， 所以sin 2cos A A =，
则tan 2A =． ……………6分 （2）由（1）得， 5cos A =
， 25sin A = ……………8分 在ACD ?中，
2
222cos 22c c CD b b A ??
=+-??? ???
，
代入条件得28120c c -+=，解得2c =或6， ………10分 当2c =时， 1
sin 42
ABC S bc A ?==；当6c =时， 12ABC S ?=． ………12分
18. （本小题满分12分）
解：(1)该考场的考生人数为10÷=40人. ………2分 数学科目成绩为
A 的人数为
40××××10×2)=40×=3人. ………5分
(2) 语文和数学成绩为A 的各有3人，其中有两人的两科成绩均为
A ，所以还有两名同学
只有一科成绩为
A . ……………7分
设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为
A ，则在至少一科成绩为M 的考生中，
随机抽取两人进行访谈，基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}， {丙，丁}共6个， …………… 10分 设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为
A ”为事件M ，则事件M 包含的事件有1个，
则6
1
)(=M P . ……………12分
试题解析：(1)存在CD 的中点F 成立, 连结EF ,BF 在ACD ?中,
,E F ,分别为AC ,DC 的中点 ……2分
EF ∴为ACD ?的中位线
AD ∴EF EF ?EFB AD ?EFB AD ∴EFB C ABD h 平面ABD 平面C AB 平面ABD
平面C=AB AB BC 且B A BC ∴平面C AD BC ∴AD AD DC AD ∴平面BCD AD BD
S 23
ADB ?∴=B ACD -22BC =S 2
ACD ?∴=B ACD C ADB V --=V 1
12222333
h ??=?26h ∴=
（本小题满分12分）
【答案】（1）12PF PF ?的最小值为4-; （2）12. 【解析】试题分析：
（1）设()00,P x y ，由向量数量积的坐标运算求得2
12344
x PF PF ?=-+，注意椭圆中
有02222x -≤≤，因此可得最小值；
（2）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长AB ，求出P 点坐标，再求得P 到直线AB 的距离
即三角形的高，从而得PAB ?面积()2
2
4PAB S b b ?=-
试题解析：
（1）有题意可知()
16,0F -， )
2
6,0F ，设点00(,)P x y
则()1
6,PF x y =--， (
)
2
006,PF x y =-， ………2分
∴22
12006PF PF x y ?=+-，
∵点()00,P x y 在椭圆C 上，∴2200182x y +=，即22
0024x y =-， ………3分 ∴22
2
00120326444
x x PF PF x ?=+--=-+（02222x -≤≤， ………4分
∴当00x =时， 12PF PF ?的最小值为4-． ………6分 （注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P 求解） （2）设l 的方程1
2
y x b =
+，点()11,A x y ， ()22,B x y ， 由22
1,2 18
2y x b x y =++=???????得22
2240x bx b ++-=， ………7分 令2248160b b ?=-+>，解得22m -<<．
由韦达定理得122x x b +=-， 2
1224x x b =-，
由弦长公式得()
()
2
21212114544
AB x x x x b =+
+-=- ………8分
且121PF PF ?=-，得()2,1P ． 又点P 到直线l 的距离21
5
14
b b d =
=
+， ………9分
∴()
221154225
PAB
b S AB d b ?==- ()
224b b =- 22422
b b +-≤=， ………11分
当且仅当2b =± ∴ PAB ?面积最大值为2. ……12分
21.（本小题满分12分）
解析：（1）依题意得()3
31f x x x =-+-， ()()()2
33311f x x x x =-+=-+-" ………2分
知()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上是减函数，在()1,1-上是增函数 ………4分 ∴()()13f x f =-=-极小值， ()()11
f x f ==极大值
………5分
（2）法1：易得0x >时， ()1f x =最大值，
依题意知，只要()()1(0)1ln 1(0)m
g x x x x m x x
≤>?≤+
≥> 由1a ≥知，只要22ln 1(0)ln 10(0)x x x x x x x x ≤+>?+-≥> ………7分 令()2ln 1(0)h x x x x x =+->，则()2ln 1
h x x x x =+-"
………8分
注意到()10h "=，当1x >时， ()0h x ">；当01x <<时， ()0h x "<，
………9分
即()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数， ()()10h x h ==最小值
………10分 即()0h x ≥，综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤
………12分
法2：易得0x >时， ()1f x =最大值， ………7分 由1a ≥知, ()1ln (0)g x x x x x ≥+
>,令()1
ln (0)h x x x x x
=+>………8分 则()22211
ln 1ln x h x x x x x
-=+-=+"………9分
注意到()10h "=，当1x >时， ()0h x ">；当01x <<时， ()0h x "<，………10分 即()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数， ()()11h x h ==最小值，所以()1h x =最小值, 即()1g x =最小值.
综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤.
………12分
法3: 易得0x >时， ()1f x =最大值， ………7分
由1a ≥知, ()1
ln (0)g x x x x x
≥+
>, ………8分 令()1ln (0)h x x x x x =+>,则()21
ln 1(0)h x x x x =+->"………9分
令()21ln 1(0)x x x x ?=+->,则()311
0x x x ?=+>",………10分
知()x ?在()0,+∞递增,注意到()10?=,
所以, ()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞是增函数,有()1h x =最小值,即()1g x =最小值
综上知对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()12f x g x ≤. ……12分
22. （本小题满分10分）
解：(1)∵曲线C 的参数方程为22(22x y α
αα
?=+??=+??为参数）
∴曲线的普通方程为2
2
(2)(2)8x y -+-= 即2
2
440x y x y +--= ……2分 将cos ,sin x y ρθρθ==代入并化简得：4cos 4sin ρθθ=+ 即曲线C 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+. …………5分
（2）由3
4cos 4sin πθρθθ
?
=
???=+?得到1223OA ρ==+ …………7分 同理2223OB ρ==+ ………… 9分 又∵3
6
6
AOB π
π
π
∠=-
=
∴1
sin 4232
AOB S OA OB AOB ?=
∠=+ 即AOB ?的面积为423+ …………10分
23. （本小题满分10分）
解：（1）不等式()0f x ≤，即221x x -≤+，即2
2
44441x x x x -+≤++，……2分
23830x x +-≥，解得1
3
x ≥
或3x ≤-.……3分 所以不等式()0f x ≤的解集为1
{3x x ≥或3}x ≤-.……4分
（2）()=221f x x x --+=13,2131,223,2x x x x x x ?
+<-??
?
-+-≤≤??
-->???
……6分
故()f x 的最大值为15
22
f ??-
= ???，……8分 因为对于x R ?∈，使()2
24f x m m -≤恒成立.
所以2
5242
m m +≥，即2
4850m m +-≥， 解得12m ≥
或52m ≤-，∴51,,22m ?
???∈-∞-+∞ ??
??
???
.……10分
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